Irsando o métuedo de integraçä por partes, ealeule as integrais: [ int x^2 ln x d x ]

Para resolver a integral \(\int x^{2} \ln x \, dx\) usando a integração por partes, primeiro precisamos identificar as partes a serem derivadas e integradas. Vamos escolher:<br /><br />- \(u = \ln x\) (derivada: \(du = \frac{1}{x} \, dx\))<br />- \(dv = x^2 \, dx\) (integral: \(v = \frac{x^3}{3}\))<br /><br />Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\):<br /><br />\[<br />\int x^{2} \ln x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx<br />\]<br /><br />Simplificando a integral restante:<br /><br />\[<br />\int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \int \frac{x^2}{3} \, dx = \frac{1}{3} \int x^2 \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{9}<br />\]<br /><br />Portanto, a integral original fica:<br /><br />\[<br />\int x^{2} \ln x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^3}{9}<br />\]<br /><br />Finalmente, adicionamos a constante de integração \(C\):<br /><br />\[<br />\int x^{2} \ln x \, dx = \frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{x^3}{9} + C<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />\[<br />\boxed{\frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{x^3}{9} + C}<br />\]