Seja a transformação linear L: R^3arrow R^2 , com L(x,y,z)=(x+y,2x+3z) Determine: a) Seu núcleo. b) Lé injetiva!Por quê?

Para determinar o núcleo da transformação linear L, precisamos encontrar todos os vetores (x, y, z) em R^3 que são mapeados para o vetor zero (0, 0) em R^2.<br /><br />Para isso, igualamos a transformação L(x, y, z) a (0, 0) e resolvemos o sistema de equações:<br /><br />(x + y, 2x + 3z) = (0, 0)<br /><br />Podemos simplificar esse sistema de equações:<br /><br />x + y = 0<br />2x + 3z = 0<br /><br />Resolvendo esse sistema, encontramos que o núcleo de L é dado por:<br /><br />x = -y<br />y = livre<br />z = 2x/3 = -2y/3<br /><br />Portanto, o núcleo de L é o conjunto de todos os vetores da forma (-y, y, -2y/3), onde y é um número real livre.<br /><br />Para determinar se a transformação L é injetiva, precisamos verificar se cada vetor em R^2 é imagem de no máximo um vetor em R^3.<br /><br />Podemos observar que, para qualquer vetor (a, b) em R^2, existe um vetor (x, y, z) em R^3 tal que L(x, y, z) = (a, b). Isso ocorre porque podemos escolher x e y de forma que x + y = a e 2x + 3z = b.<br /><br />Portanto, a transformação L é injetiva, pois cada vetor em R^2 é imagem de no máximo um vetor em R^3.