(3) (Fluxo Sanguíneo) O volume de sangue que flui através de uma artéria é modelado por V(t)= 150+30cdot sen(2t) , onde V(t) é o volume em mililitros e t é 0 tempo em segundos. Qual é a taxa de variação do fluxo de sangue no tempo t=(pi )/(2) segundos?

Para encontrar a taxa de variação do fluxo de sangue no tempo \( t = \frac{\pi}{2} \) segundos, precisamos calcular a derivada da função \( V(t) \) em relação a \( t \) e avaliar essa derivada em \( t = \frac{\pi}{2} \).<br /><br />Dada a função:<br />\[ V(t) = 150 + 30 \cdot \sin(2t) \]<br /><br />Primeiro, calculamos a derivada \( V'(t) \):<br />\[ V'(t) = \frac{d}{dt} \left( 150 + 30 \cdot \sin(2t) \right) \]<br /><br />A derivada de uma constante é zero, então:<br />\[ \frac{d}{dt} (150) = 0 \]<br /><br />Para a parte \( 30 \cdot \sin(2t) \), usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \sin(2t) \) em relação a \( t \) é \( 2 \cos(2t) \), então:<br />\[ \frac{d}{dt} \left( 30 \cdot \sin(2t) \right) = 30 \cdot 2 \cos(2t) = 60 \cos(2t) \]<br /><br />Portanto, a derivada de \( V(t) \) é:<br />\[ V'(t) = 60 \cos(2t) \]<br /><br />Agora, avaliamos essa derivada em \( t = \frac{\pi}{2} \):<br />\[ V'\left( \frac{\pi}{2} \right) = 60 \cos\left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = 60 \cos(\pi) \]<br /><br />Sabemos que \( \cos(\pi) = -1 \), então:<br />\[ V'\left( \frac{\pi}{2} \right) = 60 \cdot (-1) = -60 \]<br /><br />Portanto, a taxa de variação do fluxo de sangue no tempo \( t = \frac{\pi}{2} \) segundos é:<br />\[ \boxed{-60 \text{ mililitros por segundo}} \]