17-20 Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t. r(t)=langle te^-t,2arctgt,2e^trangle , t=0

Para determinar o vetor tangente unitário \( T(t) \) no ponto com valor de parâmetro \( t \), precisamos calcular a derivada da função de posição \( r(t) \) em relação a \( t \) e normalizar o resultado.<br /><br />Dada a função de posição \( r(t) = \langle te^{-t}, 2\arctan(t), 2e^{t} \rangle \), podemos calcular a derivada em relação a \( t \) como:<br /><br />\[ r'(t) = \langle -te^{-t} + e^{-t}, \frac{2}{1+t^2}, 2e^{t} \rangle \]<br /><br />Agora, podemos calcular o vetor tangente unitário \( T(t) \) dividindo a derivada pela norma da derivada:<br /><br />\[ T(t) = \frac{r'(t)}{\|r'(t)\|} \]<br /><br />Para \( t = 0 \), temos:<br /><br />\[ r'(0) = \langle -e^{0} + e^{0}, \frac{2}{1+0^2}, 2e^{0} \rangle = \langle -1 + 1, 2, 2 \rangle = \langle 0, 2, 2 \rangle \]<br /><br />A norma da derivada é:<br /><br />\[ \|r'(0)\| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]<br /><br />Portanto, o vetor tangente unitário para \( t = 0 \) é:<br /><br />\[ T(0) = \frac{r'(0)}{\|r'(0)\|} = \frac{\langle 0, 2, 2 \rangle}{2\sqrt{2}} = \langle 0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \rangle \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção D: \( \langle 0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \rangle \).