Suponha que na comercialização, em reais, de certo produto a receita marginal seja dada por R'(q)=-20q+200 e o custo marginal seja dado por, em que é a quantidade. Para o intervalo 1leqslant qleqslant 5 obtenha a variação total do lucro assinalando a alternativa correta Obs: o lucroé dado pela receita menos o custo. R 680,00 R 320,00 R 240,00 R 500.00

Para calcular a variação total do lucro, precisamos calcular a diferença entre a receita total e o custo total nos pontos extremos do intervalo dado (1 e 5).<br /><br />A receita total é dada pela integral da função de receita marginal, enquanto o custo total é dado pela integral da função de custo marginal.<br /><br />Integrando a função de receita marginal $R'(q)=-20q+200$, temos:<br /><br />$R(q) = \int R'(q) dq = \int (-20q+200) dq = -10q^2 + 200q + C_1$<br /><br />Integrando a função de custo marginal $C'(q)=10q^2-100q$, temos:<br /><br />$C(q) = \int C'(q) dq = \int (10q^2-100q) dq = \frac{10}{3}q^3 - 50q^2 + C_2$<br /><br />Para calcular a variação total do lucro, precisamos calcular a diferença entre a receita total e o custo total nos pontos extremos do intervalo dado (1 e 5).<br /><br />Variação total do lucro = (Receita total em q=5 - Custo total em q=5) - (Receita total em q=1 - Custo total em q=1)<br /><br />Substituindo os valores, temos:<br /><br />Variação total do lucro = ((-10(5)^2 + 200(5) + C_1) - (10(5)^3 - 50(5)^2 + C_2)) - ((-10(1)^2 + 200(1) + C_1) - (10(1)^3 - 50(1)^2 + C_2))<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />Variação total do lucro = (-10(25) + 1000 + C_1 - (10(125) - 50(25) + C_2)) - (-10(1) + 200 + C_1 - (10(1) - 50(1) + C_2))<br /><br />Variação total do lucro = (-250 + 1000 + C_1 - (1250 - 1250 + C_2)) - (-10 + 200 + C_1 - (10 - 50 + C_2))<br /><br />Variação total do lucro = (750 + C_1 - 0) - (240 + C_1 - 40)<br /><br />Variação total do lucro = 750 - 240<br /><br />Variação total do lucro = R$ 510,00<br /><br />Portanto, a alternativa correta é: R$ 510,00.