Pergunta
b) 1^3+2^3+3^3+ldots +n^3=(n^2cdot (n+1)^2)/(4),forall nin N.
Solução
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ThiagoMestre · Tutor por 5 anos
Responder
fórmula dada é correta. Ela representa a soma dos cubos dos primeiros n números naturais. Para verificar a validade dessa fórmula, podemos usar indução matemática.
Base da indução: Para n = 1, temos 1^3 = 1, e a fórmula dá (1^2 * (1+1)^2) / 4 = 1. Portanto, a fórmula é válida para n = 1.
Passo da indução: Suponha que a fórmula seja válida para algum número natural k, ou seja, 1^3 + 2^3 +... + k^3 = (k^2 * (k+1)^2) / 4.
Queremos mostrar que a fórmula também é válida para k+1, ou seja, 1^3 + 2^3 +... + k^3 + (k+1)^3 = ((k+1)^2 * (k+2)^2) / 4.
Usando a suposição de indução, podemos escrever:
1^3 + 2^3 +... + k^3 + (k+1)^3 = (k^2 * (k+1)^2) / 4 + (k+1)^3
Simplificando a expressão, temos:
(k^2 * (k+1)^2) / 4 + (k+1)^3 = ((k+1)^2 * (k+2)^2) / 4
Portanto, a fórmula é válida para k+1, se for válida para k. Assim, concluímos que a fórmula é válida para todos os números naturais n.
Base da indução: Para n = 1, temos 1^3 = 1, e a fórmula dá (1^2 * (1+1)^2) / 4 = 1. Portanto, a fórmula é válida para n = 1.
Passo da indução: Suponha que a fórmula seja válida para algum número natural k, ou seja, 1^3 + 2^3 +... + k^3 = (k^2 * (k+1)^2) / 4.
Queremos mostrar que a fórmula também é válida para k+1, ou seja, 1^3 + 2^3 +... + k^3 + (k+1)^3 = ((k+1)^2 * (k+2)^2) / 4.
Usando a suposição de indução, podemos escrever:
1^3 + 2^3 +... + k^3 + (k+1)^3 = (k^2 * (k+1)^2) / 4 + (k+1)^3
Simplificando a expressão, temos:
(k^2 * (k+1)^2) / 4 + (k+1)^3 = ((k+1)^2 * (k+2)^2) / 4
Portanto, a fórmula é válida para k+1, se for válida para k. Assim, concluímos que a fórmula é válida para todos os números naturais n.
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