Resolva o problema de contorno que atenda à equação 16x''+x=0 e x(0)=4 e x(2pi )=3 A 4e^xcos((x)/(4))+3e^xsen((x)/(4)) B 4cos((x)/(4))+3sen((x)/(4)) C 2cos((x)/(4))-4sen((x)/(4)) D 4e^(x)/(4)+3xe^(x)/(4) E 3e^(x)/(3)+2e^-(x)/(3)

resposta correta é a opção B: $4cos(\frac {x}{4})+3sen(\frac {x}{4})$.<br /><br />Explicação:<br /><br />A equação diferencial dada é $16x''+x=0$, com as condições de contorno $x(0)=4$ e $x(2\pi)=3$.<br /><br />Para resolver esse problema de contorno, podemos usar o método da solução geral da equação diferencial homogênea.<br /><br />A equação característica associada é $16r^2 + 1 = 0$, cuja solução é $r = \pm \frac{i}{4}$.<br /><br />Portanto, a solução geral da equação diferencial homogênea é:<br />$x(x) = C_1 \cos(\frac{x}{4}) + C_2 \sin(\frac{x}{4})$<br /><br />Aplicando as condições de contorno, temos:<br />$x(0) = 4 \Rightarrow C_1 = 4$<br />$x(2\pi) = 3 \Rightarrow C_2 = \frac{3}{4}$<br /><br />Substituindo os valores de $C_1$ e $C_2$ na solução geral, obtemos:<br />$x(x) = 4\cos(\frac{x}{4}) + \frac{3}{4}\sin(\frac{x}{4})$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção B: $4\cos(\frac{x}{4}) + 3\sin(\frac{x}{4})$.