1. Mostre que T: R^2arrow R^2 dada por T(x,y)=(2x-y,x) trata-se de uma transformação linear.

Para mostrar que a transformação T é linear, precisamos verificar duas propriedades: adição e multiplicação por escalar.<br /><br />1. Adição:<br />Seja $\vec{u} = (x_1, y_1)$ e $\vec{v} = (x_2, y_2)$ vetores em $R^2$. Precisamos mostrar que $T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v})$.<br /><br />Aplicando T na soma dos vetores, temos:<br />$T(\vec{u} + \vec{v}) = T(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (2(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2), x_1 + x_2)$<br /><br />Agora, aplicando T separadamente nos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$, temos:<br />$T(\vec{u}) = T(x_1, y_1) = (2x_1 - y_1, x_1)$<br />$T(\vec{v}) = T(x_2, y_2) = (2x_2 - y_2, x_2)$<br /><br />Somando as transformações, temos:<br />$T(\vec{u}) + T(\vec{v}) = (2x_1 - y_1, x_1) + (2x_2 - y_2, x_2) = (2x_1 + 2x_2 - y_1 - y_2, x_1 + x_2)$<br /><br />Comparando as expressões, podemos ver que $T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v})$. Portanto, a transformação T satisfaz a propriedade de adição.<br /><br />2. Multiplicação por escalar:<br />Seja $\vec{u} = (x, y)$ um vetor em $R^2$ e $\lambda$ um escalar. Precisamos mostrar que $T(\lambda \vec{u}) = \lambda T(\vec{u})$.<br /><br />Aplicando T no produto do escalar e do vetor, temos:<br />$T(\lambda \vec{u}) = T(\lambda x, \lambda y) = (2(\lambda x) - \lambda y, \lambda x)$<br /><br />Agora, aplicando T no vetor $\vec{u}$, temos:<br />$T(\vec{u}) = T(x, y) = (2x - y, x)$<br /><br />Multiplicando a transformação T pelo escalar $\lambda$, temos:<br />$\lambda T(\vec{u}) = \lambda (2x - y, x) = (2\lambda x - \lambda y, \lambda x)$<br /><br />Comparando as expressões, podemos ver que $T(\lambda \vec{u}) = \lambda T(\vec{u})$. Portanto, a transformação T satisfaz a propriedade de multiplicação por escalar.<br /><br />Como a transformação T satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que T é uma transformação linear.