6. lim _(xarrow 0)((1)/(x))((1)/(sqrt (1+x))-1)

Para resolver esse limite, podemos usar a regra de L'Hôpital, que nos diz que se temos uma forma indeterminada de tipo $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$, podemos derivar o numerador e o denominador até que não haja mais formas indeterminadas e, em seguida, calcular o limite.<br /><br />Aplicando a regra de L'Hôpital, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0}(\frac {1}{x})(\frac {1}{\sqrt {1+x}}-1) = \lim _{x\rightarrow 0}(\frac {1}{x})(\frac {1 - (1+x)}{\sqrt {1+x}})$<br /><br />Simplificando a expressão dentro dos parênteses, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0}(\frac {1}{x})(\frac {-x}{\sqrt {1+x}})$<br /><br />Podemos cancelar o fator $x$ no numerador e no denominador:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0}(\frac {1}{x})(\frac {-x}{\sqrt {1+x}}) = \lim _{x\rightarrow 0}(\frac {-1}{\sqrt {1+x}})$<br /><br />Agora, podemos substituir $x = 0$ na expressão:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0}(\frac {-1}{\sqrt {1+x}}) = \frac {-1}{\sqrt {1+0}} = \frac {-1}{1} = -1$<br /><br />Portanto, o limite é igual a $-1$.