Pergunta
2. Resolva a equação diferencial a seguir pelo método da variação dos parâmetros, sujeita à condição inicial y(0)=1 e y'(0)=0 (d^2y)/(dx^2)+2(dy)/(dx)-8y=2e^-2x-e^-x 3. Sabendo que y_(1)(x)=xey_(2)(x)=xlnx formam um conjunto fund amenta de soluções pa' square x^2y''-xy'+y=0em(0,+infty ) encontre a solução geral para a EDO n ão - homogên x^2y''-xy'+y=4xlnx
Solução
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2. Para resolver a equação diferencial dada pelo método da variação dos parâmetros, primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} - 8y = 0
A solução geral da equação homogênea é:
y_h(x) = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{2x}
Agora, para encontrar a solução particular da equação não homogênea, assumimos uma forma de solução particular:
y_p(x) = Ax e^{-2x} + B e^{-x}
Derivando y_p(x)
y_p'(x) = A e^{-2x} + 2Ax e^{-2x} - B e^{-x}
y_p''(x) = -2A e^{-2x} + 4Ax e^{-2x} + 2B e^{-x}
Substituindo y_p(x)
-2A e^{-2x} + 4Ax e^{-2x} + 2B e^{-x} + 2(A e^{-2x} + 2Ax e^{-2x} - B e^{-x}) - 8(Ax e^{-2x} + B e^{-x}) = 2e^{-2x} - e^{-x}
Simplificando e igualando os coeficientes, obtemos:
A = 1
B = -1
Portanto, a solução particular é:
y_p(x) = xe^{-2x} - e^{-x}
A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{2x} + xe^{-2x} - e^{-x}
Usando a condição inicial y(0) = 1
1 = c_1 + c_2 - 1
c_1 + c_2 = 2
Usando a condição y'(0) = 0
y'(x) = -4c_1 e^{-4x} + 2c_2 e^{2x} + e^{-2x} + 2xe^{-2x} - e^{-x}
0 = -4c_1 + 2c_2 + 1
c_1 = \frac{1}{2}
c_2 = \frac{3}{2}
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = \frac{1}{2} e^{-4x} + \frac{3}{2} e^{2x} + xe^{-2x} - e^{-x}
3. Para encontrar a solução geral da EDO não-homogênea x^2y'' - xy' + y = 4xlnx
x^2y'' - xy' + y = 0
A solução geral da equação homogênea é:
y_h(x) = c_1 x + c_2 \ln x
Como y_1(x) = xe^x
y(x) = y_h(x) + y_p(x)
onde y_p(x)
y_p(x) = Ax^2\ln x + Bx^2
Derivando y_p(x)
y_p'(x) = 2Ax\ln x + Ax + 2Bx
y_p''(x) = 2A\ln x + 2A + 2B
Substituindo y_p(x)
$x^2(2A\ln x + 2A + 2B) - x(Ax + 2Bx) + Ax^2\ln x + B
\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} - 8y = 0
A solução geral da equação homogênea é:
y_h(x) = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{2x}
Agora, para encontrar a solução particular da equação não homogênea, assumimos uma forma de solução particular:
y_p(x) = Ax e^{-2x} + B e^{-x}
Derivando y_p(x)
em relação a x
, obtemos:
y_p'(x) = A e^{-2x} + 2Ax e^{-2x} - B e^{-x}
y_p''(x) = -2A e^{-2x} + 4Ax e^{-2x} + 2B e^{-x}
Substituindo y_p(x)
, y_p'(x)
e y_p''(x)
na equação diferencial original, obtemos:
-2A e^{-2x} + 4Ax e^{-2x} + 2B e^{-x} + 2(A e^{-2x} + 2Ax e^{-2x} - B e^{-x}) - 8(Ax e^{-2x} + B e^{-x}) = 2e^{-2x} - e^{-x}
Simplificando e igualando os coeficientes, obtemos:
A = 1
B = -1
Portanto, a solução particular é:
y_p(x) = xe^{-2x} - e^{-x}
A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{2x} + xe^{-2x} - e^{-x}
Usando a condição inicial y(0) = 1
, encontramos:
1 = c_1 + c_2 - 1
c_1 + c_2 = 2
Usando a condição y'(0) = 0
, encontramos:
y'(x) = -4c_1 e^{-4x} + 2c_2 e^{2x} + e^{-2x} + 2xe^{-2x} - e^{-x}
0 = -4c_1 + 2c_2 + 1
c_1 = \frac{1}{2}
c_2 = \frac{3}{2}
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = \frac{1}{2} e^{-4x} + \frac{3}{2} e^{2x} + xe^{-2x} - e^{-x}
3. Para encontrar a solução geral da EDO não-homogênea x^2y'' - xy' + y = 4xlnx
, primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
x^2y'' - xy' + y = 0
A solução geral da equação homogênea é:
y_h(x) = c_1 x + c_2 \ln x
Como y_1(x) = xe^x
e y_2(x) = x\ln x
formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea, a solução geral da equação não homogênea é:
y(x) = y_h(x) + y_p(x)
onde y_p(x)
é a solução particular da equação não homogênea. Para encontrar y_p(x)
, assumimos uma forma de solução particular:
y_p(x) = Ax^2\ln x + Bx^2
Derivando y_p(x)
em relação a x
, obtemos:
y_p'(x) = 2Ax\ln x + Ax + 2Bx
y_p''(x) = 2A\ln x + 2A + 2B
Substituindo y_p(x)
, y_p'(x)
e y_p''(x)
na equação diferencial não homogênea, obtemos:
$x^2(2A\ln x + 2A + 2B) - x(Ax + 2Bx) + Ax^2\ln x + B
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