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Matemática
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2. Resolva a equação diferencial a seguir pelo método da variação dos parâmetros, sujeita à condição inicial y(0)=1 e y'(0)=0 (d^2y)/(dx^2)+2(dy)/(dx)-8y=2e^-2x-e^-x 3. Sabendo que y_(1)(x)=xey_(2)(x)=xlnx formam um conjunto fund amenta de soluções pa' square x^2y''-xy'+y=0em(0,+infty ) encontre a solução geral para a EDO n ão - homogên x^2y''-xy'+y=4xlnx

Pergunta

2. Resolva a equação diferencial a seguir pelo método da variação dos parâmetros,
sujeita à condição inicial y(0)=1 e y'(0)=0
(d^2y)/(dx^2)+2(dy)/(dx)-8y=2e^-2x-e^-x
3. Sabendo que y_(1)(x)=xey_(2)(x)=xlnx formam um conjunto fund amenta de soluções pa'
square  x^2y''-xy'+y=0em(0,+infty ) encontre a solução geral para a EDO n ão - homogên
x^2y''-xy'+y=4xlnx

2. Resolva a equação diferencial a seguir pelo método da variação dos parâmetros, sujeita à condição inicial y(0)=1 e y'(0)=0 (d^2y)/(dx^2)+2(dy)/(dx)-8y=2e^-2x-e^-x 3. Sabendo que y_(1)(x)=xey_(2)(x)=xlnx formam um conjunto fund amenta de soluções pa' square x^2y''-xy'+y=0em(0,+infty ) encontre a solução geral para a EDO n ão - homogên x^2y''-xy'+y=4xlnx

Solução

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2. Para resolver a equação diferencial dada pelo método da variação dos parâmetros, primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:

\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} - 8y = 0


A solução geral da equação homogênea é:

y_h(x) = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{2x}


Agora, para encontrar a solução particular da equação não homogênea, assumimos uma forma de solução particular:

y_p(x) = Ax e^{-2x} + B e^{-x}


Derivando y_p(x)
em relação a x
, obtemos:

y_p'(x) = A e^{-2x} + 2Ax e^{-2x} - B e^{-x}


y_p''(x) = -2A e^{-2x} + 4Ax e^{-2x} + 2B e^{-x}


Substituindo y_p(x)
, y_p'(x)
e y_p''(x)
na equação diferencial original, obtemos:

-2A e^{-2x} + 4Ax e^{-2x} + 2B e^{-x} + 2(A e^{-2x} + 2Ax e^{-2x} - B e^{-x}) - 8(Ax e^{-2x} + B e^{-x}) = 2e^{-2x} - e^{-x}


Simplificando e igualando os coeficientes, obtemos:

A = 1


B = -1


Portanto, a solução particular é:

y_p(x) = xe^{-2x} - e^{-x}


A solução geral da equação diferencial é:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{2x} + xe^{-2x} - e^{-x}


Usando a condição inicial y(0) = 1
, encontramos:

1 = c_1 + c_2 - 1


c_1 + c_2 = 2


Usando a condição y'(0) = 0
, encontramos:

y'(x) = -4c_1 e^{-4x} + 2c_2 e^{2x} + e^{-2x} + 2xe^{-2x} - e^{-x}


0 = -4c_1 + 2c_2 + 1


c_1 = \frac{1}{2}


c_2 = \frac{3}{2}


Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

y(x) = \frac{1}{2} e^{-4x} + \frac{3}{2} e^{2x} + xe^{-2x} - e^{-x}


3. Para encontrar a solução geral da EDO não-homogênea x^2y'' - xy' + y = 4xlnx
, primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:

x^2y'' - xy' + y = 0


A solução geral da equação homogênea é:

y_h(x) = c_1 x + c_2 \ln x


Como y_1(x) = xe^x
e y_2(x) = x\ln x
formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea, a solução geral da equação não homogênea é:

y(x) = y_h(x) + y_p(x)


onde y_p(x)
é a solução particular da equação não homogênea. Para encontrar y_p(x)
, assumimos uma forma de solução particular:

y_p(x) = Ax^2\ln x + Bx^2


Derivando y_p(x)
em relação a x
, obtemos:

y_p'(x) = 2Ax\ln x + Ax + 2Bx


y_p''(x) = 2A\ln x + 2A + 2B


Substituindo y_p(x)
, y_p'(x)
e y_p''(x)
na equação diferencial não homogênea, obtemos:

$x^2(2A\ln x + 2A + 2B) - x(Ax + 2Bx) + Ax^2\ln x + B
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