Exercice 12 Trouver les extrema des fonctions suivantes : l f(x,y)=2x^4-3x^2y+y^2 3. h(x,y)=x((lnx)^2+y^2) pour xgt 0. g(x,y)=x^2y^3(3x+2y+1)

Pour trouver les extrema des fonctions données, nous allons utiliser la méthode de la dérivée partielle.<br /><br />1. Pour la fonction $f(x,y)=2x^{4}-3x^{2}y+y^{2}$, nous allons calculer les dérivées partielles de $f$ par rapport à $x$ et $y$ :<br /><br />$\frac{\partial f}{\partial x} = 8x^{3} - 6xy$<br /><br />$\frac{\partial f}{\partial y} = -3x^{2} + 2y$<br /><br />Ensuite, nous allons trouver les points où les dérivées partielles sont égales à zéro :<br /><br />$8x^{3} - 6xy = 0$<br /><br />$-3x^{2} + 2y = 0$<br /><br />En résolvant ce système d'équations, nous obtenons :<br /><br />$x = 0$ ou $x = \frac{2y}{3}$<br /><br />Pour $x = 0$, nous avons $y = 0$. Pour $x = \frac{2y}{3}$, nous avons $y = \frac{3x}{2}$.<br /><br />En substituant ces valeurs dans la fonction $f$, nous obtenons :<br /><br />$f(0,0) = 0$<br /><br />$f(\frac{2y}{3}, y) = 2(\frac{2y}{3})^{4} - 3(\frac{2y}{3})^{2}y + y^{2} = \frac{32y^{4}}{81} - \frac{12y^{3}}{9} + y^{2} = \frac{32y^{4}}{81} - \frac{36y^{3}}{81} + \frac{81y^{2}}{81} = \frac{32y^{4} - 36y^{3} + 81y^{2}}{81}$<br /><br />Donc, les extrema de la fonction $f$ sont les points $(0,0)$ et $(\frac{2y}{3}, y)$.<br /><br />2. Pour la fonction $h(x,y)=x((lnx)^{2}+y^{2})$, nous allons calculer la dérivée partielle de $h$ par rapport à $x$ et $y$ :<br /><br />$\frac{\partial h}{\partial x} = (lnx)^{2} + y^{2}$<br /><br />$\frac{\partial h}{\partial y} = 2xy$<br /><br />Ensuite, nous allons trouver les points où les dérivées partielles sont égales à zéro :<br /><br />$(lnx)^{2} + y^{2} = 0$<br /><br />$2xy = 0$<br /><br />La première équation n'a pas de solution car $(lnx)^{2}$ est toujours positif ou nul. La deuxième équation donne $y = 0$.<br /><br />En substituant cette valeur dans la fonction $h$, nous obtenons :<br /><br />$h(x,0) = x((lnx)^{2}) = x(lnx)^{2}$<br /><br />Donc, l'extremum de la fonction $h$ est le point $(x,0)$.<br /><br />3. Pour la fonction $g(x,y)=x^{2}y^{3}(3x+2y+1)$, nous allons calculer les dérivées partielles de $g$ par rapport à $x$ et $y$ :<br /><br />$\frac{\partial g}{\partial x} = 2xy^{3}(3x+2y+1) + x^{2}y^{3}(3)$<br /><br />$\frac{\partial g}{\partial y} = 3x^{2}y^{2}(3x+2y+1) + x^{2}y^{3}(2)$<br /><br />Ensuite, nous allons trouver les points où les dérivées partielles sont égales à zéro :<br /><br />$2xy^{3}(3x+2y+1) + x^{2}y^{3}(3) = 0$<br /><br />$3x^{2}y^{2}(3x+2y+1) + x^{2}y^{3}(2) = 0$<br /><br />En résolvant ce système d'équations, nous obtenons :<br /><br />$x = 0$ ou $y = 0$<br /><br />Pour $x = 0$, nous avons $y = 0$. Pour $y = 0$, nous avons $x = 0$.<br /><br />En substituant ces valeurs dans la fonction $g$, nous obtenons :<br /><br />$g(0,0) = 0$<br /><br />Donc, l'extremum de la fonction $g$ est le point $(0,0)$.