lim _(harrow -4)(sqrt (2(h^2-8))+h)/(h+4)

Para resolver esse limite, podemos usar a regra de l'Hôpital, que nos diz que se temos uma forma indeterminada de tipo $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite da nova expressão.<br /><br />Vamos derivar o numerador e o denominador:<br /><br />Numerador: $\sqrt{2(h^2 - 8)} + h$<br /><br />Derivando: $\frac{d}{dh}(\sqrt{2(h^2 - 8)} + h) = \frac{1}{2\sqrt{2(h^2 - 8)}} \cdot 4h + 1 = \frac{2h}{\sqrt{2(h^2 - 8)}} + 1$<br /><br />Denominador: $h + 4$<br /><br />Derivando: $\frac{d}{dh}(h + 4) = 1$<br /><br />Agora, podemos aplicar a regra de l'Hôpital:<br /><br />$\lim_{h \to -4} \frac{\sqrt{2(h^2 - 8)} + h}{h + 4} = \lim_{h \to -4} \frac{\frac{2h}{\sqrt{2(h^2 - 8)}} + 1}{1}$<br /><br />Substituindo $h = -4$:<br /><br />$\lim_{h \to -4} \frac{\frac{2(-4)}{\sqrt{2((-4)^2 - 8)}} + 1}{1} = \frac{\frac{-8}{\sqrt{2(16 - 8)}} + 1}{1} = \frac{\frac{-8}{\sqrt{2 \cdot 8}} + 1}{1} = \frac{\frac{-8}{4\sqrt{2}} + 1}{1} = \frac{-2\sqrt{2} + 1}{1}$<br /><br />Portanto, o limite é $\frac{-2\sqrt{2} + 1}{1}$ ou simplesmente $-2\sqrt{2} + 1$.