(1)/(32)[12x+8sen(2x)+sen(4x)+C é resultado da integral da função: Escolha uma opção: a. f(x)=cos^4(x) b. f(x)=sen^4(x) c f(x)=sen^2(x)+sen^4(2x) d. f(x)=sen^4(2x)

Para encontrar a função original a partir da sua integral, podemos usar a regra da cadeia. Dada a integral:<br /><br />\[<br />\frac{1}{32} \int [12x + 8\sin(2x) + \sin(4x) + C] \, dx<br />\]<br /><br />Vamos integrar termo a termo:<br /><br />1. \(\int 12x \, dx = 6x^2\)<br />2. \(\int 8\sin(2x) \, dx = 8 \cdot \frac{-\cos(2x)}{2} = -4\cos(2x)\)<br />3. \(\int \sin(4x) \, dx = -\frac{\cos(4x)}{4}\)<br />4. \(\int C \, dx = Cx\)<br /><br />Somando todos esses termos, temos:<br /><br />\[<br />\frac{1}{32} \left( 6x^2 - 4\cos(2x) - \frac{\cos(4x)}{4} + Cx \right) + D<br />\]<br /><br />Multiplicando por \(\frac{1}{32}\):<br /><br />\[<br />\frac{1}{32} \left( 6x^2 - 4\cos(2x) - \frac{\cos(4x)}{4} + Cx \right) = \frac{6x^2}{32} - \frac{4\cos(2x)}{32} - \frac{\cos(4x)}{128} + \frac{Cx}{32} = \frac{3x^2}{16} - \frac{\cos(2x)}{8} - \frac{\cos(4x)}{128} + \frac{Cx}{32}<br />\]<br /><br />Para que essa expressão seja igual a \(\frac{1}{32} [12x + 8\sin(2x) + \sin(4x) + C]\), precisamos identificar a função \(f(x)\) original. Comparando os termos, podemos ver que:<br /><br />\[<br />\frac{3x^2}{16} - \frac{\cos(2x)}{8} - \frac{\cos(4x)}{128} + \frac{Cx}{32} = \frac{1}{32} \left( 12x + 8\sin(2x) + \sin(4x) + C \right)<br />\]<br /><br />Isso implica que:<br /><br />\[<br />\frac{3x^2}{16} = \frac{12x}{32} \implies \frac{3x^2}{16} = \frac{3x}{8}<br />\]<br /><br />\[<br />-\frac{\cos(2x)}{8} = 0 \implies \cos(2x) = 0<br />\]<br /><br />\[<br />-\frac{\cos(4x)}{128} = \frac{\sin(4x)}{32} \implies -\cos(4x) = 4\sin(4x)<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{Cx}{32} = \frac{C}{32}<br />\]<br /><br />Portanto, a função original é:<br /><br />\[<br />f(x) = \sin^4(2x)<br />\]<br /><br />Assim, a resposta correta é:<br /><br />b. \(f(x) = \sin^4(x)\)