(4.) Se log _(5) x=2 e 0 log y=4 , lalule log _(20)((x)/(y))

Para resolver essa questão, vamos utilizar as propriedades dos logaritmos.<br /><br />Primeiro, vamos resolver para \( x \) usando a primeira equação \( 0 \log _{5} x = 2 \). Como \( 0 \log _{5} x \) é igual a 2, isso implica que \( \log _{5} x = \frac{2}{0} \), o que não é possível, pois não podemos dividir por zero. Portanto, há um erro na formulação da equação.<br /><br />Vamos considerar que a equação correta é \( \log _{5} x = 2 \). Isso implica que \( 5^2 = x \), ou seja, \( x = 25 \).<br /><br />Agora, vamos resolver para \( y \) usando a segunda equação \( 0 \log y = 4 \). Novamente, \( 0 \log y \) é igual a 4 não é possível, pois não podemos dividir por zero. Portanto, há um erro na formulação da equação.<br /><br />Vamos considerar que a equação correta é \( \log y = 4 \). Isso implica que \( 10^4 = y \), ou seja, \( y = 10000 \).<br /><br />Agora, podemos calcular \( \log _{20}\left(\frac{x}{y}\right) \):<br /><br />\( \log _{20}\left(\frac{x}{y}\right) = \log _{20}\left(\frac{25}{10000}\right) \)<br /><br />Podemos simplificar essa expressão usando a propriedade dos logaritmos que diz que \( \log _{a}\left(\frac{b}{c}\right) = \log _{a}b - \log _{a}c \):<br /><br />\( \log _{20}\left(\frac{25}{10000}\right) = \log _{20}25 - \log _{20}10000 \)<br /><br />Agora, podemos calcular cada um desses logaritmos separadamente:<br /><br />\( \log _{20}25 \) não é um número inteiro, mas podemos calcular sua aproximação decimal usando uma calculadora:<br /><br />\( \log _{20}25 \approx 1.371 \)<br /><br />\( \log _{20}10000 \) também não é um número inteiro, mas podemos calcular sua aproximação decimal usando uma calculadora:<br /><br />\( \log _{20}10000 \approx 4.605 \)<br /><br />Agora, podemos substituir esses valores na expressão original:<br /><br />\( \log _{20}\left(\frac{25}{10000}\right) \approx 1.371 - 4.605 \)<br /><br />Calculando essa expressão, obtemos:<br /><br />\( \log _{20}\left(\frac{25}{10000}\right) \approx -3.234 \)<br /><br />Portanto, a resposta correta é aproximadamente -3.234.