2B. Considerando a função definida por f(x)= =3x^2-6x-m determine para qual valor dem a ordenada do vértice acute (e)4.

Para determinar o valor de m para o qual a ordenada do vértice de uma função quadrática é igual a 4, podemos usar a fórmula geral da função quadrática:<br /><br />$f(x) = ax^2 + bx + c$<br /><br />O vértice de uma função quadrática é o ponto mais baixo (quando a = -1) ou o ponto mais alto (quando a = 1) da parábola. A coordenada x do vértice é dado por:<br /><br />$x_v = -\frac{b}{2a}$<br /><br />A coordenada y do vértice é dada por:<br /><br />$y_v = f(x_v)$<br /><br />Substituindo os valores dados na função quadrática dada:<br /><br />$3x^2 - 6x - m = 4$<br /><br />Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar o valor de m:<br /><br />$3x^2 - 6x - m - 4 = 0$<br /><br />$3x^2 - 6x - m - 4 = 0$<br /><br />$3(x^2 - 2x + \frac{4}{3}) - m - 4 = 0$<br /><br />$9x^2 - 6x + \frac{4}{3} - m - 4 = 0$<br /><br />$9x^2 - 6x - \frac{16}{3} - m = 0$<br /><br />Agora, vamos completar o quadrado para resolver a equação quadrática:<br /><br />$9x^2 - 6x - \frac{16}{3} - m = 0$<br /><br />$9x^2 - 6x + \frac{9}{3} - \frac{16}{3} - m = 0$<br /><br />$9(x^2 - 2x + 3) - \frac{16}{3} - m = 0$<br /><br />$9(x - 1)^2 - \frac{16}{3} - m = 0$<br /><br />$9(x - 1)^2 - \frac{48}{3} - m = 0$<br /><br />$9(x - 1)^2 - 16 - m = 0$<br /><br />$9(x - 1)^2 - m - 16 = 0$<br /><br />Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar o valor de m:<br /><br />$9(x - 1)^2 - m - 16 = 0$<br /><br />$9(x - 1)^2 = m + 16$<br /><br />$x - 1 = \pm \sqrt{\frac{m + 16}{9}}$<br /><br />$x = 1 \pm \sqrt{\frac{m + 16}{9}}$<br /><br />Agora, substituindo o valor de x na função quadrática original:<br /><br />$f(x) = 3x^2 - 6x - m$<br /><br />$f(1 + \sqrt{\frac{m + 16}{9}}) = 3(1 + \sqrt{\frac{m + 16}{9}})^2 - 6(1 + \sqrt{\frac{m + 16}{9}}) - m$<br /><br />$f(1 + \sqrt{\frac{m + 16}{9}}) = 3(1 + 2\sqrt{\frac{m + 16}{9}} + \frac{(m + 16)}{9}) - 6 - m$<br /><br />$f(1 + \sqrt{\frac{m + 16}{9}}) = 3 + 6\sqrt{\frac{m + 16}{9}} + \frac{m + 16}{3} - 6 - m$<br /><br />$f(1 + \sqrt{\frac{m + 16}{9}}) = \frac{3m + 42 + 18\sqrt{\frac{m + 16}{9}}}{3} - m$<br /><br />$f(1 + \sqrt{\frac{m + 16}{9}}) = \frac{3m + 42 + 18\sqrt{\frac{m + 16}{9}} - 3m}{3}$<br /><br />$f(1 + \sqrt{\frac{m + 16}{9}}) = \frac{42 + 18\sqrt{\frac{m + 16}{9}}}{3}$<br /><br />$f(1 + \sqrt{\frac{m + 16}{9}}) = 14 + 6\sqrt{\frac{m + 16}{9}}$<br /><br />Agora, substituindo o valor de f(1 + \sqrt{\frac{m + 16}{9}}) igual a 4:<br /><br />$14 + 6\sqrt{\frac{m + 16}{9}} = 4$<br /><br />$6\sqrt{\frac{m + 16}{9}} = -10$<br /><br />$\sqrt{\frac{m + 16}{9}} = -\frac{