Seja a transformação linear L: R^3arrow R^2 ,com L(x,y,z)=(x+y,2x+3z) Determine: a) Seu núcleo. b) Lé injetiva?Por quê?

Para resolver essas questões, vamos analisar a transformação linear \( L: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) dada por \( L(x, y, z) = (x + y, 2x + 3z) \).<br /><br />### a) Núcleo de \( L \)<br /><br />O núcleo de uma transformação linear \( L \) é o conjunto de todos os vetores \( (x, y, z) \) em \( \mathbb{R}^3 \) que são mapeados para o vetor nulo \( (0, 0) \) em \( \mathbb{R}^2 \). Em outras palavras, precisamos encontrar todos os \( (x, y, z) \) tais que \( L(x, y, z) = (0, 0) \).<br /><br />Dada a transformação \( L(x, y, z) = (x + y, 2x + 3z) \), temos:<br /><br />\[<br />\begin{cases}<br />x + y = 0 \\<br />2x + 3z = 0<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Resolvendo o sistema de equações:<br /><br />1. Da primeira equação: \( x + y = 0 \), temos \( y = -x \).<br />2. Da segunda equação: \( 2x + 3z = 0 \), temos \( z = -\frac{2}{3}x \).<br /><br />Portanto, qualquer vetor \( (x, y, z) \) que satisfaça \( y = -x \) e \( z = -\frac{2}{3}x \) estará no núcleo de \( L \).<br /><br />Em termos de vetores, o núcleo de \( L \) é:<br /><br />\[<br />\text{Núcleo}(L) = \{ (x, -x, -\frac{2}{3}x) \mid x \in \mathbb{R} \}<br />\]<br /><br />### b) Injetividade de \( L \)<br /><br />Para determinar se \( L \) é injetiva, precisamos verificar se cada vetor em \( \mathbb{R}^2 \) tem uma imagem única em \( \mathbb{R}^2 \). Ou seja, devemos verificar se a equação \( L(x, y, z) = (u, v) \) tem uma solução única para cada \( (u, v) \) em \( \mathbb{R}^2 \).<br /><br />Dada a transformação \( L(x, y, z) = (x + y, 2x + 3z) \), temos:<br /><br />\[<br />\begin{cases}<br />x + y = u \\<br />2x + 3z = v<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Resolvendo para \( x \) e \( z \):<br /><br />1. Da primeira equação: \( x = u - y \).<br />2. Substituindo \( x \) na segunda equação: \( 2(u - y) + 3z = v \) \(\Rightarrow 2u - 2y + 3z = v \) \(\Rightarrow 3z = v - 2u + 2y \) \(\Rightarrow z = \frac{v - 2u + 2y}{3} \).<br /><br />Portanto, para cada \( (u, v) \) em \( \mathbb{R}^2 \), existe um vetor \( (x, y, z) \) em \( \mathbb{R}^3 \) tal que \( L(x, y, z) = (u, v) \). Isso significa que \( L \) é injetiva.<br /><br />### Conclusão<br /><br />a) O núcleo de \( L \) é:<br /><br />\[<br />\text{Núcleo}(L) = \{ (x, -x, -\frac{2}{3}x) \mid x \in \mathbb{R} \}<br />\]<br /><br />b) \( L \) é injetiva porque cada vetor em \( \mathbb{R}^2 \) tem uma imagem única em \( \mathbb{R}^2 \).