QUESTÃO 03 (UER)2013) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nivel de toxidez To correspondente a dez vezes o nivel inicial. Leia as informações a seguir. A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias. Onivel de toxidez T(x) após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação: T(x)=T_(0)cdot (0,5)^0,1x Considere Do menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nivel inicial. Sendo log2=0,3 o valor de Dé igual a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36

【Explicação】:<br />A questão envolve a aplicação de logaritmos para resolver uma equação exponencial. A equação dada é <br />\[T(x) = T_0 \cdot (0.5)^{0.1x}\]<br />onde \(T(x)\) é o nível de toxidez após \(x\) dias, e \(T_0\) é o nível de toxidez inicial, que é dez vezes o nível normal. O objetivo é encontrar o valor de \(x\), que é o número mínimo de dias \(D\) necessário para que a toxidez retorne ao nível normal.<br /><br />Sabemos que o nível normal de toxidez é \(\frac{T_0}{10}\). Então, para encontrar \(D\), igualamos \(T(x)\) ao nível normal:<br />\[\frac{T_0}{10} = T_0 \cdot (0.5)^{0.1x}\]<br /><br />Podemos cancelar \(T_0\) de ambos os lados da equação, resultando em:<br />\[\frac{1}{10} = (0.5)^{0.1x}\]<br /><br />Para resolver essa equação, podemos usar logaritmos. Vamos converter a base da exponencial para 2, usando a propriedade de que \(0.5 = 2^{-1}\):<br />\[\frac{1}{10} = (2^{-1})^{0.1x}\]<br />\[\frac{1}{10} = 2^{-0.1x}\]<br /><br />Agora, aplicamos o logaritmo em ambos os lados e usamos a propriedade do logaritmo \(\log_b(a^c) = c\log_b(a)\):<br />\[\log_2\left(\frac{1}{10}\right) = \log_2(2^{-0.1x})\]<br />\[\log_2\left(\frac{1}{10}\right) = -0.1x\]<br /><br />Usando a propriedade de que \(\log_b\left(\frac{1}{a}\right) = -\log_b(a)\) e o fato dado que \(\log_2 = 0.3\), temos:<br />\[-\log_2(10) = -0.1x\]<br />\[-1\log_2(10) = -0.1x\]<br />\[-1 \cdot 0.3 = -0.1x\]<br />\[-0.3 = -0.1x\]<br /><br />Finalmente, resolvemos para \(x\):<br />\[x = \frac{-0.3}{-0.1} = 3\]<br /><br />No entanto, essa resposta está em termos de períodos de 10 dias, conforme indicado pelo fator 0.1 na equação original. Para encontrar o número total de dias, multiplicamos por 10:<br />\[D = 3 \times 10 = 30\]<br /><br />【Resposta】: a) 30