Pergunta
lim _(zarrow 0)(z^2)/(cos(z)-1)=
Solução
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GabrielMestre · Tutor por 5 anos
Responder
Para resolver o limite \lim_{z\rightarrow 0}\frac{z^{2}}{\cos(z)-1}, podemos usar a série de Taylor para a função \cos(z) em torno de z = 0:
\cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots
Substituindo isso na expressão original, temos:
\cos(z) - 1 = \left(1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots\right) - 1 = -\frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots
Portanto, a expressão \frac{z^2}{\cos(z) - 1} se torna:
\frac{z^2}{-\frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots} = \frac{z^2}{-\frac{z^2}{2}} = -2
Assim, o limite é:
\lim_{z\rightarrow 0}\frac{z^{2}}{\cos(z)-1} = -2
Portanto, a resposta correta é -2.
\cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots
Substituindo isso na expressão original, temos:
\cos(z) - 1 = \left(1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots\right) - 1 = -\frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots
Portanto, a expressão \frac{z^2}{\cos(z) - 1} se torna:
\frac{z^2}{-\frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots} = \frac{z^2}{-\frac{z^2}{2}} = -2
Assim, o limite é:
\lim_{z\rightarrow 0}\frac{z^{2}}{\cos(z)-1} = -2
Portanto, a resposta correta é -2.
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