Suponha que na comercialização, em reais, de certo produto a receita marginal seja dada por R'(q)=-20q+200 custo marginal seja dado por, em que é a quantidade. Para o intervalo 1leqslant qleqslant 5 obtenha a variação total do lucro assinalando a alternativa correta. Obs: o lucroé dado pela receita menos o custo. R 680,00 RS 320,00 RS240,00 RS 50000

Para calcular a variação total do lucro, precisamos calcular a diferença entre a receita total e o custo total nos pontos extremos do intervalo dado.<br /><br />Primeiro, vamos calcular a receita total e o custo total em \( q = 1 \) e \( q = 5 \).<br /><br />Para \( q = 1 \):<br />- Receita total: \( R(1) = \int_{0}^{1} R'(q) \, dq = \int_{0}^{1} (-20q + 200) \, dq = \left[ -10q^2 + 200q \right]_{0}^{1} = -10(1)^2 + 200(1) = -10 + 200 = 190 \) reais.<br />- Custo total: \( C(1) = \int_{0}^{1} C'(q) \, dq = \int_{0}^{1} (10q^2 + 100) \, dq = \left[ \frac{10q^3}{3} + 100q \right]_{0}^{1} = \frac{10(1)^3}{3} + 100(1) = \frac{10}{3} + 100 = \frac{310}{3} \approx 103,33 \) reais.<br /><br />Para \( q = 5 \):<br />- Receita total: \( R(5) = \int_{0}^{5} R'(q) \, dq = \int_{0}^{5} (-20q + 200) \, dq = \left[ -10q^2 + 200q \right]_{0}^{5} = -10(5)^2 + 200(5) = -10(25) + 1000 = -250 + 1000 = 750 \) reais.<br />- Custo total: \( C(5) = \int_{0}^{5} C'(q) \, dq = \int_{0}^{5} (10q^2 + 100) \, dq = \left[ \frac{10q^3}{3} + 100q \right]_{0}^{5} = \frac{10(5)^3}{3} + 100(5) = \frac{10(125)}{3} + 500 = \frac{1250}{3} + 500 = \frac{2450}{3} \approx 817,33 \) reais.<br /><br />Agora, vamos calcular a variação total do lucro:<br />\[ \text{Variação total do lucro} = \text{Lucro total em } q = 5 - \text{Lucro total em } q = 1 = (750 - 817,33) = -67,33 \text{ reais} \]<br /><br />Portanto, a alternativa correta é:<br />\[ \text{Variação total do lucro} = -67,33 \text{ reais} \]