Pergunta
Questão 15 Seja a função f(x)=x^3-9x^2+24x+50 intervalo em que f'(x)lt 0 ]4+infty [ ]-infty ;4[ ]2;+infty [ 12;4[ ]-infty ;2[
Solução
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DanielaProfissional · Tutor por 6 anos
Responder
Para encontrar o intervalo em que a derivada da função f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x + 50
A derivada de f(x)
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os valores de x
3x^2 - 18x + 24 = 0
Dividindo toda a equação por 3, obtemos:
x^2 - 6x + 8 = 0
Fatorando a equação quadrática, temos:
(x - 2)(x - 4) = 0
Portanto, os pontos críticos são x = 2
Agora, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo entre os pontos críticos. Podemos fazer isso escolhendo um ponto de teste em cada intervalo e substituindo na derivada.
Intervalo ]-\infty, 2[
Escolhemos x = 1
f'(1) = 3(1)^2 - 18(1) + 24 = 3 - 18 + 24 = 9
Como f'(1) > 0
Intervalo ]2, 4[
Escolhemos x = 3
f'(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 24 = 27 - 54 + 24 = -3
Como f'(3) < 0
Intervalo ]4, +\infty[
Escolhemos x = 5
f'(5) = 3(5)^2 - 18(5) + 24 = 75 - 90 + 24 = 9
Como f'(5) > 0
Portanto, a derivada f'(x)
é menor que zero, precisamos primeiro calcular a derivada da função.
A derivada de f(x)
é dada por f'(x) = 3x^2 - 18x + 24
.
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os valores de x
para os quais f'(x) = 0
. Para isso, igualamos a derivada a zero e resolvemos a equação:
3x^2 - 18x + 24 = 0
Dividindo toda a equação por 3, obtemos:
x^2 - 6x + 8 = 0
Fatorando a equação quadrática, temos:
(x - 2)(x - 4) = 0
Portanto, os pontos críticos são x = 2
e x = 4
.
Agora, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo entre os pontos críticos. Podemos fazer isso escolhendo um ponto de teste em cada intervalo e substituindo na derivada.
Intervalo ]-\infty, 2[
:
Escolhemos x = 1
como ponto de teste. Substituindo na derivada, temos:
f'(1) = 3(1)^2 - 18(1) + 24 = 3 - 18 + 24 = 9
Como f'(1) > 0
, a derivada é positiva nesse intervalo.
Intervalo ]2, 4[
:
Escolhemos x = 3
como ponto de teste. Substituindo na derivada, temos:
f'(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 24 = 27 - 54 + 24 = -3
Como f'(3) < 0
, a derivada é negativa nesse intervalo.
Intervalo ]4, +\infty[
:
Escolhemos x = 5
como ponto de teste. Substituindo na derivada, temos:
f'(5) = 3(5)^2 - 18(5) + 24 = 75 - 90 + 24 = 9
Como f'(5) > 0
, a derivada é positiva nesse intervalo.
Portanto, a derivada f'(x)
é menor que zero no intervalo ]2, 4[
. A resposta correta é a opção ]2;4[
.
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