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Questão 15 Seja a função f(x)=x^3-9x^2+24x+50 intervalo em que f'(x)lt 0 ]4+infty [ ]-infty ;4[ ]2;+infty [ 12;4[ ]-infty ;2[

Pergunta

Questão 15
Seja a função f(x)=x^3-9x^2+24x+50 intervalo em que f'(x)lt 0
]4+infty [
]-infty ;4[
]2;+infty [
12;4[
]-infty ;2[

Questão 15 Seja a função f(x)=x^3-9x^2+24x+50 intervalo em que f'(x)lt 0 ]4+infty [ ]-infty ;4[ ]2;+infty [ 12;4[ ]-infty ;2[

Solução

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DanielaProfissional · Tutor por 6 anos

Responder

Para encontrar o intervalo em que a derivada da função f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x + 50
é menor que zero, precisamos primeiro calcular a derivada da função.

A derivada de f(x)
é dada por f'(x) = 3x^2 - 18x + 24
.

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os valores de x
para os quais f'(x) = 0
. Para isso, igualamos a derivada a zero e resolvemos a equação:

3x^2 - 18x + 24 = 0


Dividindo toda a equação por 3, obtemos:

x^2 - 6x + 8 = 0


Fatorando a equação quadrática, temos:

(x - 2)(x - 4) = 0


Portanto, os pontos críticos são x = 2
e x = 4
.

Agora, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo entre os pontos críticos. Podemos fazer isso escolhendo um ponto de teste em cada intervalo e substituindo na derivada.

Intervalo ]-\infty, 2[
:
Escolhemos x = 1
como ponto de teste. Substituindo na derivada, temos:

f'(1) = 3(1)^2 - 18(1) + 24 = 3 - 18 + 24 = 9


Como f'(1) > 0
, a derivada é positiva nesse intervalo.

Intervalo ]2, 4[
:
Escolhemos x = 3
como ponto de teste. Substituindo na derivada, temos:

f'(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 24 = 27 - 54 + 24 = -3


Como f'(3) < 0
, a derivada é negativa nesse intervalo.

Intervalo ]4, +\infty[
:
Escolhemos x = 5
como ponto de teste. Substituindo na derivada, temos:

f'(5) = 3(5)^2 - 18(5) + 24 = 75 - 90 + 24 = 9


Como f'(5) > 0
, a derivada é positiva nesse intervalo.

Portanto, a derivada f'(x)
é menor que zero no intervalo ]2, 4[
. A resposta correta é a opção ]2;4[
.
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