Pergunta
![prove que
(1)/(a^3)+b^(3-abc)+(1)/(b^3)-c^(3+abc)+(1)/(c^3)+a^(3-abc)leqslant (1)/(abc)](https://static.questionai.br.com/resource%2Fqaiseoimg%2F202501%2Fprove-que1a3b3abc1b3c3abc1c3a3abcleqslant-1abc-thZBUmwKoP0e.jpg?x-oss-process=image/resize,w_558,h_500/quality,q_35/format,webp)
prove que (1)/(a^3)+b^(3-abc)+(1)/(b^3)-c^(3+abc)+(1)/(c^3)+a^(3-abc)leqslant (1)/(abc)
Solução
![expert verified](https://mathresource.studyquicks.com/static/image/br/verify.png)
4.2245 Voting
![avatar](https://static.questionai.br.com/resource%2Favatar%2Fbr%2Ffemale%2Fa3571_721901122100c4b26347.jpg?x-oss-process=image/format,webp)
RaquelEspecialista · Tutor por 3 anos
Responder
Para provar a desigualdade dada, vamos usar a fórmula de factorização de cubos perfeitos:
Agora, vamos substituir essas fórmulas na desigualdade original:
Podemos simplificar essa expressão dividindo ambos os lados da desigualdade por
Simplificando, obtemos:
Agora, vamos analisar cada termo separadamente. Podemos ver que cada termo é positivo, pois o numerador é positivo e o denominador é positivo. Além disso, podemos observar que cada termo é menor que
Portanto, somando esses termos, obtemos uma soma menor que
Agora, vamos substituir essas fórmulas na desigualdade original:
Podemos simplificar essa expressão dividindo ambos os lados da desigualdade por
:
Simplificando, obtemos:
Agora, vamos analisar cada termo separadamente. Podemos ver que cada termo é positivo, pois o numerador é positivo e o denominador é positivo. Além disso, podemos observar que cada termo é menor que
, pois o denominador é maior que
.
Portanto, somando esses termos, obtemos uma soma menor que
, o que prova a desigualdade original.
Clique para avaliar: