Exercício 6.16 Considere o operador linear T sobre P_(2)(R) definido por: T(p(x))=p(x)+(x+1)p'(x) Determine os autovalores e as autovetores do operador T.

Para determinar os autovalores e autovetores do operador T, primeiro precisamos encontrar as eigenvalores, que são os valores de escalar λ que satisfazem a equação T(v) = λv para algum vetor v não nulo. Em seguida, encontramos os autovetores correspondentes para cada eigenvalue.<br /><br />Dado o operador T definido por T(p(x)) = p(x) + (x+1)p'(x), podemos procurar um vetor v = p(x) tal que T(v) = λv.<br /><br />Aplicando T a p(x), temos:<br /><br />T(p(x)) = p(x) + (x+1)p'(x)<br /><br />Para encontrar os autovalores, igualamos T(p(x)) a λp(x):<br /><br />p(x) + (x+1)p'(x) = λp(x)<br /><br />Isso implica que:<br /><br />p'(x) = (λ - 1)p(x) - (x+1)p(x)<br /><br />p'(x) = (λ - 1 - (x+1))p(x)<br /><br />p'(x) = (λ - x - 2)p(x)<br /><br />Agora, podemos resolver essa equação diferencial para encontrar os autovalores. Podemos ver que a solução geral para essa equação é:<br /><br />p(x) = A * e^(λx)<br /><br />onde A é uma constante.<br /><br />Para encontrar os autovetores correspondentes, podemos escolher qualquer função p(x) que satisfaça essa equação diferencial para cada valor de λ.<br /><br />Portanto, os autovalores do operador T são os valores de λ que satisfazem a equação diferencial acima, e os autovetores correspondentes são as funções p(x) que satisfazem essa equação para cada valor de λ.