Pergunta
) 5. (1.5 pontos)Dadas as retas r:y=x+1, s:y=2x+2 e t: y=-2x+3 determine: a) (0,5 ponto) as interseçōes rcap s,rcap sescap t. b) (1,0 ponto) a equação da circunferência que contém os pontos de interseção das retas.
Solução
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AugustoProfissional · Tutor por 6 anos
Responder
a) Para determinar as interseções das retas, podemos igualar as equações das retas e resolver para x e y.
Para a interseção de r e s, temos:
y = x + 1
y = 2x + 2
Igualando as duas equações, temos:
x + 1 = 2x + 2
-x = 1
x = -1
Substituindo o valor de x na equação de r, temos:
y = -1 + 1
y = 0
Portanto, a interseção de r e s é o ponto (-1, 0).
Para a interseção de r e t, temos:
y = x + 1
y = -2x + 3
Igualando as duas equações, temos:
x + 1 = -2x + 3
3x = 2
x = \frac{2}{3}
Substituindo o valor de x na equação de r, temos:
y = \frac{2}{3} + 1
y = \frac{5}{3}
Portanto, a interseção de r e t é o ponto \left(\frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right)
Para a interseção de s e t, temos:
y = 2x + 2
y = -2x + 3
Igualando as duas equações, temos:
2x + 2 = -2x + 3
4x = 1
x = \frac{1}{4}
Substituindo o valor de x na equação de s, temos:
y = 2 \cdot \frac{1}{4} + 2
y = \frac{1}{2} + 2
y = \frac{5}{2}
Portanto, a interseção de s e t é o ponto \left(\frac{1}{4}, \frac{5}{2}\right)
b) Para determinar a equação da circunferência que contém os pontos de interseção das retas, podemos usar a fórmula geral da equação de uma circunferência:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde (h, k) é o centro da circunferência e r é o raio.
Como a circunferência passa pelos três pontos de interseção, podemos usar qualquer um desses pontos para encontrar o centro e o raio.
Vamos usar o ponto (-1, 0) como exemplo. Substituindo esse ponto na equação da circunferência, temos:
(-1 - h)^2 + (0 - k)^2 = r^2
Agora, podemos usar os outros dois pontos para encontrar o valor de h, k e r.
Usando o ponto \left(\frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right)
\left(\frac{2}{3} + 1\right)^2 + \left(\frac{5}{3} - k\right)^2 = r^2
Usando o ponto \left(\frac{1}{4}, \frac{5}{2}\right)
\left(\frac{1}{4} + 1\right)^2 + \left(\frac{5}{2} - k\right)^2 = r^2
Resolvendo essas equações, encontramos:
h = -\frac{1}{2}
k = \frac{1}{2}
r = \frac{\sqrt{5}}{2}
Portanto, a equação da circunferência que contém os pontos de interseção das retas é:
(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2
Para a interseção de r e s, temos:
y = x + 1
y = 2x + 2
Igualando as duas equações, temos:
x + 1 = 2x + 2
-x = 1
x = -1
Substituindo o valor de x na equação de r, temos:
y = -1 + 1
y = 0
Portanto, a interseção de r e s é o ponto (-1, 0).
Para a interseção de r e t, temos:
y = x + 1
y = -2x + 3
Igualando as duas equações, temos:
x + 1 = -2x + 3
3x = 2
x = \frac{2}{3}
Substituindo o valor de x na equação de r, temos:
y = \frac{2}{3} + 1
y = \frac{5}{3}
Portanto, a interseção de r e t é o ponto \left(\frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right)
.
Para a interseção de s e t, temos:
y = 2x + 2
y = -2x + 3
Igualando as duas equações, temos:
2x + 2 = -2x + 3
4x = 1
x = \frac{1}{4}
Substituindo o valor de x na equação de s, temos:
y = 2 \cdot \frac{1}{4} + 2
y = \frac{1}{2} + 2
y = \frac{5}{2}
Portanto, a interseção de s e t é o ponto \left(\frac{1}{4}, \frac{5}{2}\right)
.
b) Para determinar a equação da circunferência que contém os pontos de interseção das retas, podemos usar a fórmula geral da equação de uma circunferência:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde (h, k) é o centro da circunferência e r é o raio.
Como a circunferência passa pelos três pontos de interseção, podemos usar qualquer um desses pontos para encontrar o centro e o raio.
Vamos usar o ponto (-1, 0) como exemplo. Substituindo esse ponto na equação da circunferência, temos:
(-1 - h)^2 + (0 - k)^2 = r^2
Agora, podemos usar os outros dois pontos para encontrar o valor de h, k e r.
Usando o ponto \left(\frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right)
, temos:
\left(\frac{2}{3} + 1\right)^2 + \left(\frac{5}{3} - k\right)^2 = r^2
Usando o ponto \left(\frac{1}{4}, \frac{5}{2}\right)
, temos:
\left(\frac{1}{4} + 1\right)^2 + \left(\frac{5}{2} - k\right)^2 = r^2
Resolvendo essas equações, encontramos:
h = -\frac{1}{2}
k = \frac{1}{2}
r = \frac{\sqrt{5}}{2}
Portanto, a equação da circunferência que contém os pontos de interseção das retas é:
(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2
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