Resolver a equação (x!+3(x-2)!)/(x!-3(x-2)!)=(31)/(29)

Para resolver a equação \(\frac{x! + 3(x-2)!}{x! - 3(x-2)!} = \frac{31}{29}\), vamos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Multiplicar ambos os lados da equação por \(29(x! - 3(x-2)!)\) para eliminar o denominador:**<br /><br /> \[<br /> 29(x! - 3(x-2)!) \cdot \frac{x! + 3(x-2)!}{x! - 3(x-2)!} = 29 \cdot \frac{31}{29} \cdot (x! - 3(x-2)!)<br /> \]<br /><br />2. **Simplificar a equação:**<br /><br /> \[<br /> 29(x! + 3(x-2)!) = 31(x 3(x-2)!)<br /> \]<br /><br />3. **Expandir os termos:**<br /><br /> \[<br /> 29x! + 87(x-2)! = 31x! - 93(x-2)!<br /> \]<br /><br />4. **Reescrever \(x!\) e \((x-2)!\) em termos de \(x\) e \((x-2)\):**<br /><br /> \[<br /> 29x! + 87(x-2)! = 31x! - 93(x-2)!<br /> \]<br /><br />5. **Separar os termos com \(x!\) e \((x-2)!\):**<br /><br /> \[<br /> 29x! - 31x! = -93(x-2)! - 87(x-2)!<br /> \]<br /><br />6. **Fatorar \(x!\) e \((x-2)!\) dos termos:**<br /><br /> \[<br /> (29 - 31)x! = (-93 - 87)(x-2)!<br /> \]<br /><br /> \[<br /> -2x! = -180(x-2)!<br /> \]<br /><br />7. **Dividir ambos os lados da equação por \(-2\):**<br /><br /> \[<br /> x! = 90(x-2)!<br /> \]<br /><br />8. **Reescrever \(x!\) em termos de \((x-2)!\):**<br /><br /> \[<br /> x! = 90(x-2)!<br /> \]<br /><br />[<br /> (x-2)! \cdot x = 90(x-2)!<br /> \]<br /><br />9. **Dividir ambos os lados da equação por \((x-2)!\):**<br /><br /> \[<br /> x = 90<br /> \]<br /><br />Portanto, a solução da equação é \(x = 90\).