4-Verifique que a equação abaixo representa uma parábola. Dê o vértice , o foco e a diretriz. 5x^2-10x-y+8=0

Para verificar se a equação representa uma parábola, precisamos analisar sua forma geral. A equação dada é:<br /><br />\[ 5x^2 - 10x - y + 8 = 0 \]<br /><br />Primeiro, vamos reescrever a equação em uma forma mais clara, isolando \( y \):<br /><br />\[ y = 5x^2 - 10x + 8 \]<br /><br />Esta é uma equação quadrática em \( x \) e \( y \). Para determinar se é uma parábola, precisamos verificar se ela pode ser escrita na forma padrão de uma parábola, que é:<br /><br />\[ y = ax^2 + bx + c \]<br /><br />Comparando, temos:<br /><br />\[ a = 5, \quad b = -10, \quad c = 8 \]<br /><br />Como \( a \neq 0 \), a equação representa uma parábola.<br /><br />### Vértice<br />A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola \( y = ax^2 + bx + c \) é:<br /><br />\[ x_v = -\frac{b}{2a} \]<br /><br />Substituindo os valores de \( a \) e \( b \):<br /><br />\[ x_v = -\frac{-10}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1 \]<br /><br />Para encontrar a coordenada \( y \) do vértice, substituímos \( x_v \) na equação original:<br /><br />\[ y_v = 5(1)^2 - 10(1) + 8 = 5 - 10 + 8 = 3 \]<br /><br />Portanto, o vértice da parábola é \( (1, 3) \).<br /><br />### Foco<br />Para encontrar o foco da parábola, usamos a fórmula:<br /><br />\[ p = \frac{1}{4a} \]<br /><br />Substituindo \( a = 5 \):<br /><br />\[ p = \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20} \]<br /><br />O foco da parábola é:<br /><br />\[ \left( x_v, y_v + p \right) = \left( 1, 3 + \frac{1}{20} \right) = \left( 1, 3 + 0.05 \right) = \left( 1, 3.05 \right) \]<br /><br />### Diretriz<br />A diretriz da parábola é uma linha horizontal que passa pelo vértice e está a uma distância \( p \) abaixo do vértice. Portanto, a equação da diretriz é:<br /><br />\[ y = y_v - p = 3 - \frac{1}{20} = 3 - 0.05 = 2.95 \]<br /><br />### Resumo<br />- **Parábola**: \( y = 5x^2 - 10x + 8 \)<br />- **Vértice**: \( (1, 3) \)<br />- **Foco**: \( (1, 3.05) \)<br />- **Diretriz**: \( y = 2.95 \)<br /><br />Portanto, a equação representa uma parábola com vértice em \( (1, 3) \), foco em \( (1, 3.05) \) e diretriz \( y = 2.95 \).