Pergunta
2. Soit Fintégrale curviligne I=int _(OT)2(x^2+y^2)dx+(x+y)^2dy Ou Test le triangle plein de sommet A(1,1);B(2,2) et C(1,3) (a) Appliquer la formule de Green Pour calculer I (b) Donner une parametrisation des cotes du triangle (c) verifier le resultat de I par une integration directe
Solução
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ValeskaMestre · Tutor por 5 anos
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(a) Pour appliquer la formule de Green, nous devons d'abord vérifier que la région OT est une région simplement connexe et orientée. Dans ce cas, la région OT est le triangle ABC avec les sommets A(1,1), B(2,2) et C(1,3). La formule de Green stipule que pour une région simplement connexe et orientée D délimitée par une courbe fermée C, l'intégrale curviligne I peut être calculée comme suit :
I = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy
où P = 2(x^2 + y^2) et Q = (x + y)^2.
Calculons les dérivées partielles :
\frac{\partial Q}{\partial x} = 2(x + y)
\frac{\partial P}{\partial y} = 4y
En substituant ces valeurs dans la formule de Green, nous obtenons :
I = \iint_D \left( 2(x + y) - 4y \right) dx dy
I = \iint_D 2(x - 2y) dx dy
Maintenant, nous devons paramétrer les côtés du triangle ABC. Les côtés sont les segments AB, BC et CA. Nous pouvons paramétrer ces segments comme suit :
- AB : x = 1 + t, y = 1 + t, 0 \leq t \leq 1
- BC : x = 2, y = 2 + t, 0 \leq t \leq 1
- CA : x = 1, y = 1 + 2t, 0 \leq t \leq 1
Ensuite, nous pouvons vérifier le résultat de I par une intégration directe. Cependant, cela nécessiterait de diviser la région OT en sous-régions et d'intégrer séparément sur chaque sous-région. Cela peut être long et complexe, surtout pour une région délimitée par des courbes complexes comme un triangle.
En résumé, pour calculer I en utilisant la formule de Green, nous devons d'abord vérifier que la région OT est simplement connexe et orientée, puis nous devons paramétrer les côtés du triangle ABC et enfin, nous devons intégrer sur ces paramétrisations.
I = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy
où P = 2(x^2 + y^2) et Q = (x + y)^2.
Calculons les dérivées partielles :
\frac{\partial Q}{\partial x} = 2(x + y)
\frac{\partial P}{\partial y} = 4y
En substituant ces valeurs dans la formule de Green, nous obtenons :
I = \iint_D \left( 2(x + y) - 4y \right) dx dy
I = \iint_D 2(x - 2y) dx dy
Maintenant, nous devons paramétrer les côtés du triangle ABC. Les côtés sont les segments AB, BC et CA. Nous pouvons paramétrer ces segments comme suit :
- AB : x = 1 + t, y = 1 + t, 0 \leq t \leq 1
- BC : x = 2, y = 2 + t, 0 \leq t \leq 1
- CA : x = 1, y = 1 + 2t, 0 \leq t \leq 1
Ensuite, nous pouvons vérifier le résultat de I par une intégration directe. Cependant, cela nécessiterait de diviser la région OT en sous-régions et d'intégrer séparément sur chaque sous-région. Cela peut être long et complexe, surtout pour une région délimitée par des courbes complexes comme un triangle.
En résumé, pour calculer I en utilisant la formule de Green, nous devons d'abord vérifier que la région OT est simplement connexe et orientée, puis nous devons paramétrer les côtés du triangle ABC et enfin, nous devons intégrer sur ces paramétrisations.
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