Encontre os ângulos entre os vetores: (a) overrightarrow (u)=(2,7,-6) e overrightarrow (v)=(3,2,0) (b) overrightarrow (u)=2overrightarrow (i)+4overrightarrow (j)+6overrightarrow (k) e overrightarrow (v)=6overrightarrow (j) (c) overrightarrow (u)=(1,2,-8) e overrightarrow (v)=(3,1,0) (d) overrightarrow (u)=(5,-6,4) e overrightarrow (v)=(0,0,7)

(a) Para encontrar o ângulo entre os vetores $\overrightarrow{u} = (2,7,-6)$ e $\overrightarrow{v} = (3,2,0)$, podemos usar a fórmula do produto escalar:<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\| \cdot \cos(\theta)$<br /><br />Onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores.<br /><br />Primeiro, calculamos o produto escalar:<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (2 \cdot 3) + (7 \cdot 2) + (-6 \cdot 0) = 6 + 14 = 20$<br /><br />Em seguida, calculamos as normas dos vetores:<br /><br />$\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{2^2 + 7^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 49 + 36} = \sqrt{89}$<br /><br />$\|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$<br /><br />Agora, podemos encontrar o ângulo:<br /><br />$\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\|} = \frac{20}{\sqrt{89} \cdot \sqrt{13}}$<br /><br />$\theta = \arccos\left(\frac{20}{\sqrt{89} \cdot \sqrt{13}}\right) \approx 0.6435$ radianos<br /><br />Portanto, o ângulo entre os vetores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ é aproximadamente $0.6435$ radianos.<br /><br />(b) Para encontrar o ângulo entre os vetores $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 6\overrightarrow{k}$ e $\overrightarrow{v} = 6\overrightarrow{j}$, podemos usar a fórmula do produto escalar novamente.<br /><br />Primeiro, calculamos o produto escalar:<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (2 \cdot 0) + (4 \cdot 6) + (6 \cdot 0) = 0 + 24 + 0 = 24$<br /><br />Em seguida, calculamos as normas dos vetores:<br /><br />$\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56}$<br /><br />$\|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{0^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$<br /><br />Agora, podemos encontrar o ângulo:<br /><br />$\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\|} = \frac{24}{\sqrt{56} \cdot 6}$<br /><br />$\theta = \arccos\left(\frac{24}{\sqrt{56} \cdot 6}\right) \approx 0.7854$ radianos<br /><br />Portanto, o ângulo entre os vetores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ é aproximadamente $0.7854$ radianos.<br /><br />(c) Para encontrar o ângulo entre os vetores $\overrightarrow{u} = (1,2,-8)$ e $\overrightarrow{v} = (3,1,0)$, podemos usar a fórmula do produto escalar novamente.<br /><br />Primeiro, calculamos o produto escalar:<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (1 \cdot 3) + (2 \cdot 1) + (-8 \cdot 0) = 3 + 2 + 0 = 5$<br /><br />Em seguida, calculamos as normas dos vetores:<br /><br />$\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 4 + 64} = \sqrt{69}$<br /><br />$\|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$<br /><br />Agora, podemos encontrar o ângulo:<br /><br />$\cos(\theta) = \frac{\over