7) Um investimento de R 9.000,00 é feito com juros compostos de 6% ao ano. Qual o tempo necessário para que ele atinja o valor de R 12.000,00

Para calcular o tempo necessário para que um investimento atinja um determinado valor com juros compostos, podemos usar a fórmula dos juros compostos:<br /><br />\[ A = P \times \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t \]<br /><br />Onde:<br />- \( A \) é o valor futuro do investimento<br />- \( P \) é o valor principal (investimento inicial)<br />- \( r \) é a taxa de juros anual (em porcentagem)<br />- \( t \) é o tempo em anos<br /><br />Neste caso, temos:<br />- \( A = R\$ 12.000,00 \)<br />- \( P = R\$ 9.000,00 \)<br />- \(\% \)<br /><br />Queremos encontrar o valor de \( t \). Vamos substituir os valores na fórmula e resolver a equação:<br /><br />\[ 12.000 = 9.000 \times \left(1 + \frac{6}{100}\right)^t \]<br /><br />Simplificando a expressão dentro dos parênteses:<br /><br />\[ 12.000 = 9.000 \times \left(1 + 0,06\right)^t \]<br />\[ 12.000 = 9.000 \times \left(1,06\right)^t \]<br /><br />Agora, vamos isolar o termo \( \left(1,06\right)^t \):<br /><br />\[ \frac{12.000}{9.000} = \left(1,06\right)^t \]<br />\[ \frac{4}{3} = \left(1,06\right\[ 1,3333 \approx \left(1,06\right)^t \]<br /><br />Para encontrar o valor de \( t \), podemos usar logaritmos:<br /><br />\[ \log(1,3333) = \log\left(\left(1,06\right)^t\right) \]<br />\[ \log(1,3333) = t \times \log(1,06) \]<br /><br />Agora, podemos calcular o valor de \( t \):<br /><br />\[ t = \frac{\log(1,3333)}{\log(1,06)} \]<br /><br />Usando uma calculadora, encontramos:<br /><br />\[ \log(1,3333) \approx 0,127 \]<br />\[ \log(1,06) \approx 0,0253 \]<br /><br />Portanto:<br /><br />\[ t \approx \frac{0,127}{0,]<br />\[ t \approx 5 \]<br /><br />Assim, o tempo necessário para que o investimento atinja o valor de R$ 12.000,00 é aproximadamente 5 anos.