03) (1,5) A equação (x+y)dx+(xlnx)dy=0 não é exata, verifique se mu (x,y)=(1)/(x) a torna uma equação diferencial exata.

Para verificar se a função \(\mu(x, y) = \frac{1}{x}\) torna a equação diferencial \((x+y)dx + (x \ln x)dy = 0\) exata, precisamos calcular os coeficientes de \(dx\) e \(dy\) após a multiplicação pela função \(\mu(x, y)\) e verificar se a equação resultante é exata.<br /><br />Dada a equação:<br />\[<br />(x+y)dx + (x \ln x)dy = 0<br />\]<br /><br />Multiplicamos ambos os lados por \(\mu(x, y) = \frac{1}{x}\):<br /><br />\[<br />\left( \frac{1}{x} \right) (x+y)dx + \left( \frac{1}{x} \right) (x \ln x)dy = 0<br />\]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[<br />\frac{x+y}{x}dx + \frac{x \ln x}{x}dy = 0<br />\]<br /><br />\[<br />\left( 1 + \frac{y}{x} \right)dx + \ln x \, dy = 0<br />\]<br /><br />Para que a equação seja exata, os coeficientes de \(dx\) e \(dy\) devem ser derivados um do outro. Vamos verificar isso:<br /><br />Derivando implicitamente \( \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \) em relação a \(y\):<br /><br />\[<br />\frac{\partial}{\partial y} \left( 1 + \frac{y}{x} \right) = \frac{1}{x}<br />\]<br /><br />Derivando implicitamente \( \ln x \) em relação a \(x\):<br /><br />\[<br />\frac{\partial}{\partial x} \ln x = \frac{1}{x}<br />\]<br /><br />Como ambos os coeficientes derivam em \(\frac{1}{x}\), a equação é exata quando multiplicada pela função \(\mu(x, y) = \frac{1}{x}\).<br /><br />Portanto, a função \(\mu(x, y) = \frac{1}{x}\) torna a equação diferencial \((x+y)dx + (x \ln x)dy = 0\) exata.