9. Considerando A=(} -1&2 5&4 ) e C=(} 1&1 1&1 ) verifique que: a) A+B=B+A b) A+(B+C)=(A+B)+C c) B+O_(2times 2)=B d) C+(-C)=0_(2times 2)

Vamos verificar cada uma das afirmações:<br /><br />a) $A+B=B+A$<br /><br />Para verificar se a soma de duas matrizes é comutativa, basta verificar se $A+B$ é igual a $B+A$. Vamos calcular:<br /><br />$A+B = (\begin{matrix} -1&2\\ 5&4\end{matrix}) + (\begin{matrix} 6&7\\ -3&0\end{matrix}) = (\begin{matrix} 5&9\\ 2&4\end{matrix})$<br /><br />$B+A = (\begin{matrix} 6&7\\ -3&0\end{matrix}) + (\begin{matrix} -1&2\\ 5&4\end{matrix}) = (\begin{matrix} 5&9\\ 2&4\end{matrix})$<br /><br />Portanto, $A+B = B+A$, o que confirma a afirmação.<br /><br />b) $A+(B+C)=(A+B)+C$<br /><br />Para verificar se a soma de três matrizes é associativa, basta verificar se $A+(B+C)$ é igual a $(A+B)+C$. Vamos calcular:<br /><br />$B+C = (\begin{matrix} 6&7\\ -3&0\end{matrix}) + (\begin{matrix} 1&1\\ 1&1\end{matrix}) = (\begin{matrix} 7&8\\ -2&1\end{matrix})$<br /><br />$A+(B+C) = (\begin{matrix} -1&2\\ 5&4\end{matrix}) + (\begin{matrix} 7&8\\ -2&1\end{matrix}) = (\begin{matrix} 6&10\\ 3&5\end{matrix})$<br /><br />$A+B = (\begin{matrix} -1&2\\ 5&4\end{matrix}) + (\begin{matrix} 6&7\\ -3&0\end{matrix}) = (\begin{matrix} 5&9\\ 2&4\end{matrix})$<br /><br />$(A+B)+C = (\begin{matrix} 5&9\\ 2&4\end{matrix}) + (\begin{matrix} 1&1\\ 1&1\end{matrix}) = (\begin{matrix} 6&10\\ 3&5\end{matrix})$<br /><br />Portanto, $A+(B+C)=(A+B)+C$, o que confirma a afirmação.<br /><br />c) $B+O_{2\times 2}=B$<br /><br />Para verificar se a soma de uma matriz com a matriz nula é igual à matriz original, basta somar a matriz com a matriz nula e verificar se o resultado é igual à matriz original. Vamos calcular:<br /><br />$B+O_{2\times 2} = (\begin{matrix} 6&7\\ -3&0\end{matrix}) + (\begin{matrix} 0&0\\ 0&0\end{matrix}) = (\begin{matrix} 6&7\\ -3&0\end{matrix})$<br /><br />Portanto, $B+O_{2\times 2}=B$, o que confirma a afirmação.<br /><br />d) $C+(-C)=0_{2\times 2}$<br /><br />Para verificar se a soma de uma matriz com seu oposto é igual à matriz nula, basta somar a matriz com seu oposto e verificar se o resultado é igual à matriz nula. Vamos calcular:<br /><br />$-C = -(\begin{matrix} 1&1\\ 1&1\end{matrix}) = (\begin{matrix} -1&-1\\ -1&-1\end{matrix})$<br /><br />$C+(-C) = (\begin{matrix} 1&1\\ 1&1\end{matrix}) + (\begin{matrix} -1&-1\\ -1&-1\end{matrix}) = (\begin{matrix} 0&0\\ 0&0\end{matrix})$<br /><br />Portanto, $C+(-C)=0_{2\times 2}$, o que confirma a afirmação.