1. Sejam overrightarrow (u) e overrightarrow (v) vetores não nulos e kin R^ast Sabendo que overrightarrow (u)=koverrightarrow (v) determine os possiveis valores de k para que: a Vert overrightarrow (u)Vert =Vert overrightarrow (v)Vert b) Vert overrightarrow (u)Vert gt Vert overrightarrow (v)Vert

Para resolver essas questões, vamos usar a definição de norma de um vetor e as propriedades dos vetores.<br /><br />### Parte a) $\Vert \overrightarrow {u}\Vert =\Vert \overrightarrow {v}\Vert $<br /><br />Dado que $\overrightarrow {u} = k\overrightarrow {v}$, podemos usar a propriedade da norma de um vetor:<br /><br />\[<br />\Vert \overrightarrow {u}\Vert = \Vert k\overrightarrow {v}\Vert = |k| \Vert \overrightarrow {v}\Vert<br />\]<br /><br />Para que $\Vert \overrightarrow {u}\Vert = \Vert \overrightarrow {v}\Vert$, temos:<br /><br />\[<br />|k| \Vert \overrightarrow {v}\Vert = \Vert \overrightarrow {v}\Vert<br />\]<br /><br />Isso implica que:<br /><br />\[<br />|k| = 1<br />\]<br /><br />Portanto, os possíveis valores de \( k \) são:<br /><br />\[<br />k = 1 \quad \text{ou} \quad k = -1<br />\]<br /><br />### Parte b) $\Vert \overrightarrow {u}\Vert \gt \Vert \overrightarrow {v}\Vert $<br /><br />Usando a mesma propriedade da norma de um vetor:<br /><br />\[<br />\Vert \overrightarrow {u}\Vert = \Vert k\overrightarrow {v}\Vert = |k| \Vert \overrightarrow {v}\Vert<br />\]<br /><br />Para que $\Vert \overrightarrow {u}\Vert > \Vert \overrightarrow {v}\Vert$, temos:<br /><br />\[<br />|k| \Vert \overrightarrow {v}\Vert > \Vert \overrightarrow {v}\Vert<br />\]<br /><br />Isso implica que:<br /><br />\[<br />|k| > 1<br />\]<br /><br />Portanto, os possíveis valores de \( k \) são:<br /><br />\[<br />k > 1 \quad \text{ou} \quad k < -1<br />\]<br /><br />Resumindo:<br /><br />a) Os possíveis valores de \( k \) para que \(\Vert \overrightarrow {u}\Vert = \Vert \overrightarrow {v}\Vert \) são \( k = 1 \) ou \( k = -1 \).<br /><br />b) Os possíveis valores de \( k \) para que \(\Vert \overrightarrow {u}\Vert > \Vert \overrightarrow {v}\Vert \) são \( k > 1 \) ou \( k < -1 \).