lim _(harrow 0)((2+h)^4-16)/(h)

Para resolver esse limite, podemos usar o teorema do binômio de Newton. Aplicando o teorema do binômio de Newton, temos:<br /><br />$(2+h)^{4} = 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} \cdot h + 6 \cdot 2^{2} \cdot h^{2} + 4 \cdot 2 \cdot h^{3} + h^{4}$<br /><br />Substituindo na expressão original, temos:<br /><br />$\lim _{h\rightarrow 0}\frac {(2+h)^{4}-16}{h} = \lim _{h\rightarrow 0}\frac {2^{4} + 4 \cdot 2^{3} \cdot h + 6 \cdot 2^{2} \cdot h^{2} + 4 \cdot 2 \cdot h^{3} + h^{4} - 16}{h}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\lim _{h\rightarrow 0}\frac {16 + 32h + 24h^{2} + 8h^{3} + h^{4} - 16}{h} = \lim _{h\rightarrow 0}\frac {32h + 24h^{2} + 8h^{3} + h^{4}}{h}$<br /><br />Dividindo cada termo pelo denominador $h$, temos:<br /><br />$\lim _{h\rightarrow 0}\frac {32h}{h} + \lim _{h\rightarrow 0}\frac {24h^{2}}{h} + \lim _{h\rightarrow 0}\frac {8h^{3}}{h} + \lim _{h\rightarrow 0}\frac {h^{4}}{h}$<br /><br />Simplificando novamente, temos:<br /><br />$\lim _{h\rightarrow 0} 32 + \lim _{h\rightarrow 0} 24h + \lim _{h\rightarrow 0} 8h^{2} + \lim _{h\rightarrow 0} h^{3}$<br /><br />Agora, podemos substituir $h = 0$ em cada termo:<br /><br />$32 + 24(0) + 8(0)^{2} + (0)^{3} = 32$<br /><br />Portanto, o limite é igual a 32.