0. (UFRN) A quantidade de portas de um hotel é um múlti- plo de três. Com 10 galóes de tinta um pintor consegue pintar (1)/(3) do total de portas do hotel. a) Determine quantos galoes de tinta são necessários para ele pintar a metade do total de portas. b) Se o proprietário do hotel gastou, em tintas, R 280,00 para pintar (1)/(3) das portas, especifique quanto irá gastar para pintar o restante mantidos os preços da tinta.

a) Sabemos que com 10 galões de tinta o pintor consegue pintar \(\frac{1}{3}\) do total de portas do hotel. Portanto, para pintar a metade do total de portas, ele precisará de uma quantidade de tinta equivalente a \(\frac{1}{3}\) do total de portas.<br /><br />Seja x o total de portas do hotel. Temos a seguinte proporção:<br /><br />\(\frac{10}{\frac{1}{3}x} = \frac{1}{2}\)<br /><br />Multiplicando em cruz, temos:<br /><br />\(10 \cdot 2 = \frac{1}{3}x\)<br /><br />\(20 = \frac{1}{3}x\)<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 3, temos:<br /><br />\(60 = x\)<br /><br />Portanto, o total de portas do hotel é 60. Para pintar a metade desse total, o pintor precisará de uma quantidade de tinta equivalente a \(\frac{1}{3}\) de 60, ou seja, 20 galões de tinta.<br /><br />b) Sabemos que o proprietário do hotel gastou R$280,00 para pintar \( \frac{1}{3} \) das portas. Se ele já pintou \( \frac{1}{3} \) das portas com 10 galões de tinta, podemos calcular o custo para pintar o restante das portas.<br /><br />Seja y o custo para pintar o restante das portas. Temos a seguinte proporção:<br /><br />\( \frac{280}{10} = \frac{y}{\frac{2}{3}x} \)<br /><br />Multiplicando em cruz, temos:<br /><br />\( 280 \cdot \frac{2}{3}x = 10y \)<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\( \frac{560}{3}x = 10y \)<br /><br />Dividindo ambos os lados por 10, temos:<br /><br />\( \frac{56}{3}x = y \)<br /><br />Portanto, o proprietário irá gastar \( \frac{56}{3} \) vezes o valor inicial (R$ 280,00) para pintar o restante das portas.