y^prime=(3 x^2+1)^3 cdot(x-x^2)^2

Para resolver a equação diferencial \( y' = (3x^2 + 1)^3 \cdot (x - x^2)^2 \), podemos usar a regra do quociente para encontrar a função \( y \).<br /><br />Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial como \( \frac{dy}{dx} = (3x^2 + 1)^3 \cdot (x - x^2)^2 \).<br /><br />Agora, vamos aplicar a regra do quociente, que nos diz que a derivada de uma função é igual à derivada da função no numerador menos a derivada da função no denominador, tudo dividido pelo denominador ao cubo.<br /><br />Aplicando a regra do quociente, temos:<br /><br />\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[(3x^2 + 1)^3 \cdot (x - x^2)^2] \).<br /><br />Para encontrar a derivada do numerador, podemos usar a regra da cadeia. A derivada de \( (3x^2 + 1)^3 \) é \( 3(3x^2 + 1)^2 \cdot 6x \), e a derivada de \( (x - x^2)^2 \) é \( 2(x - x^2) \cdot (1 - 2x) \).<br /><br />Agora, podemos substituir essas derivadas na fórmula da regra do quociente:<br /><br />\( \frac{dy}{dx} = \frac{3(3x^2 + 1)^2 \cdot 6x \cdot (x - x^2)^2 + (3x^2 + 1)^3 \cdot 2(x - x^2) \cdot (1 - 2x)}{(x - x^2)^3} \).<br /><br />Simplificando essa expressão, temos:<br /><br />\( \frac{dy}{dx} = \frac{18x(3x^2 + 1)^2(x - x^2)^2 + 2(3x^2 + 1)^3(x - x^2)(1 - 2x)}{(x - x^2)^3} \).<br /><br />Podemos cancelar o fator comum \( (x - x^2) \) no numerador e no denominador:<br /><br />\( \frac{dy}{dx} = \frac{18x(3x^2 + 1)^2(x - x^2) + 2(3x^2 + 1)^3(x - x^2)(1 - 2x)}{(x - x^2)^2} \).<br /><br />Simplificando ainda mais, temos:<br /><br />\( \frac{dy}{dx} = \frac{18x(3x^2 + 1)^2 + 2(3x^2 + 1)^3(1 - 2x)}{(x - x^2)} \).<br /><br />Portanto, a solução da equação diferencial é \( y = \int \frac{18x(3x^2 + 1)^2 + 2(3x^2 + 1)^3(1 - 2x)}{(x - x^2)} dx \).