Obtenha a solução particular da equação diferencial 2s'+4s-8e^2x=0 sabendo que o valor de s para x=0 vale 2: A s(x)=e^2x-2e^-2x B s(x)=e^2x+2e^-2x C s(x)=e^2x+e^-2x D s(x)=e^x+2e^-x E s(x)=e^2x-e^-x

Para resolver essa equação diferencial, vamos utilizar o método da variação dos parâmetros.<br /><br />A equação diferencial é:<br />$2s'+4s-8e^{2x}=0$<br /><br />Resolvendo a equação homogênea associada:<br />$2s'+4s=0$<br />$s(x)=C_1e^{-2x}$<br /><br />Agora, vamos encontrar a solução particular da equação não-homogênea.<br /><br />Seja $s(x)=C_1(x)e^{-2x}+C_2(x)e^{2x}$, onde $C_1(x)$ e $C_2(x)$ são funções a serem determinadas.<br /><br />Substituindo na equação diferencial:<br />$2(C_1'e^{-2x}-2C_1e^{-2x}+C_2'e^{2x}+2C_2e^{2x})+4(C_1e^{-2x}+C_2e^{2x})-8e^{2x}=0$<br />Simplificando:<br />$2C_1'-4C_1+2C_2'+4C_2-8e^{2x}=0$<br /><br />Igualando os coeficientes de $e^{-2x}$ e $e^{2x}$, temos:<br />$2C_1'-4C_1=0 \Rightarrow C_1(x)=C_1e^{2x}$<br />$2C_2'+4C_2=8 \Rightarrow C_2(x)=2e^{-2x}$<br /><br />Portanto, a solução particular é:<br />$s(x)=C_1e^{2x}+2e^{-2x}$<br /><br />Usando a condição inicial $s(0)=2$, temos:<br />$s(0)=C_1+2=2 \Rightarrow C_1=-2$<br /><br />Assim, a solução particular da equação diferencial é:<br />$s(x)=-2e^{2x}+2e^{-2x}$<br /><br />Portanto, a alternativa correta é a alternativa B: $s(x)=e^{2x}+2e^{-2x}$.