PROVE QUE operatorname(Lim) sqrt[n](n!)=+infty .

Para provar que \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = +\infty \), podemos usar o teorema de crescimento comparativo. Vamos comparar \( n! \) com \( n^n \).<br /><br />Sabemos que para \( n \) suficientemente grande, \( n! \) cresce mais rapidamente do que \( n^n \). Isso pode ser demonstrado usando o teorema de crescimento comparativo, que afirma que se \( a_n \) e \( b_n \) são duas sequências de números positivos, e se \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = +\infty \), então \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n^k} = +\infty \) para todo \( k \in \mathbb{N} \).<br /><br />Aplicando isso a \( n! \) e \( n^n \), temos:<br /><br />\[<br />\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = +\infty<br />\]<br /><br />Como \( n^n \) cresce mais lentamente do que \( n! \), podemos concluir que:<br /><br />\[<br />\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = +\infty<br />\]<br /><br />Agora, para encontrar o limite de \( \sqrt[n]{n!} \), podemos reescrever \( n! \) como \( (n^n)^{\frac{1}{n}} \):<br /><br />\[<br />\sqrt[n]{n!} = \sqrt[n]{(n^n)^{\frac{1}{n}}} = (n^n)^{\frac{1}{n^2}} = n^{\frac{1}{n}} \cdot n^{\frac{1}{n}} = n^{\frac{2}{n}}<br />\]<br /><br />Como \( \lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}} = 1 \), temos:<br /><br />\[<br />\lim_{n \to \infty} n^{\frac{2}{n}} = \left( \lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}} \right)^2 = 1^2 = 1<br />\]<br /><br />Portanto, o limite de \( \sqrt[n]{n!} \) é 1, não \( +\infty \). Parece que houve um erro na interpretação inicial. Vamos corrigir isso.<br /><br />Para corrigir a prova, devemos mostrar que \( \sqrt[n]{n!} \) cresce mais rapidamente do que \( n \). Vamos usar a fórmula de Stirling para \( n! \):<br /><br />\[<br />n! \approx \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n<br />\]<br /><br />Então,<br /><br />\[<br />\sqrt[n]{n!} \approx \left( \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[2\pi n]{\left( \frac{n}{e} \right)}<br />\]<br /><br />Para \( n \) grande, \( \frac{n}{e} \) é aproximadamente \( n \), então:<br /><br />\[<br />\sqrt[n]{n!} \approx \sqrt[2\pi n]{n}<br />\]<br /><br />Como \( \sqrt[2\pi n]{n} \) cresce mais rapidamente do que \( n \), concluímos que:<br /><br />\[<br />\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = +\infty<br />\]<br /><br />Portanto, a afirmação está correta.