Parte 1:Derivadas com a Regra do Produto Calcule as derivadas das seguintes funções aplicando a regra do produto: 1 f(x)=(2x^2+3)cdot e^x 2 g(x)=(x+1)cdot ln(x) 3 h(x)=(5x-7)cdot e^2x 4 j(x)=(x^3+x)cdot log(x) 5 k(x)=(3x^5+4x)cdot ln(x)

Para calcular as derivadas das funções fornecidas aplicando a regra do produto, utilizaremos a fórmula:<br /><br />$\frac{d}{dx}[(f(x)\cdot g(x))]=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$<br /><br />Vamos calcular cada uma das derivadas:<br /><br />1) $f(x)=(2x^{2}+3)\cdot e^{x}$<br /><br />Aplicando a regra do produto, temos:<br /><br />$f'(x)=(4x+0)\cdot e^{x}+(2x^{2}+3)\cdot e^{x}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$f'(x)=(4x+2x^{2}+3)\cdot e^{x}$<br /><br />2) $g(x)=(x+1)\cdot ln(x)$<br /><br />Aplicando a regra do produto, temos:<br /><br />$g'(x)=(1+0)\cdot ln(x)+(x+1)\cdot \frac{1}{x}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$g'(x)=ln(x)+\frac{x+1}{x}$<br /><br />3) $h(x)=(5x-7)\cdot e^{2x}$<br /><br />Aplicando a regra do produto, temos:<br /><br />$h'(x)=(5+0)\cdot e^{2x}+(5x-7)\cdot 2e^{2x}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$h'(x)=(5+10x-14)\cdot e^{2x}$<br /><br />4) $j(x)=(x^{3}+x)\cdot log(x)$<br /><br />Aplicando a regra do produto, temos:<br /><br />$j'(x)=(3x^{2}+1)\cdot log(x)+(x^{3}+x)\cdot \frac{1}{x}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$j'(x)=(3x^{2}+1)\cdot log(x)+x^{2}+1$<br /><br />5) $k(x)=(3x^{5}+4x)\cdot ln(x)$<br /><br />Aplicando a regra do produto, temos:<br /><br />$k'(x)=(15x^{4}+4)\cdot ln(x)+(3x^{5}+4x)\cdot \frac{1}{x}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$k'(x)=(15x^{4}+4)\cdot ln(x)+3x^{4}+4$<br /><br />Portanto, as derivadas das funções fornecidas são:<br /><br />1) $f'(x)=(4x+2x^{2}+3)\cdot e^{x}$<br /><br />2) $g'(x)=ln(x)+\frac{x+1}{x}$<br /><br />3) $h'(x)=(5+10x-14)\cdot e^{2x}$<br /><br />4) $j'(x)=(3x^{2}+1)\cdot log(x)+x^{2}+1$<br /><br />5) $k'(x)=(15x^{4}+4)\cdot ln(x)+3x^{4}+4$