1) Aplique 0 Teorema da Divergência para determinar o fluxo do campo elétrico overrightarrow (F)(x,y,z)=(x,-y,2z) através da superficie do cilindro x^2+y^2=9 para -2leqslant zleqslant 2 Considere overrightarrow (n) a normal exterior.

Para aplicar o Teorema da Divergência e determinar o fluxo do campo elétrico através da superfície do cilindro, precisamos calcular a divergência do campo elétrico e, em seguida, integrá-la sobre a superfície.<br /><br />A divergência de um campo vetorial $\overrightarrow{F}$ é dada por:<br /><br />$\nabla \cdot \overrightarrow{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$<br /><br />No caso do campo elétrico dado $\overrightarrow{F}(x,y,z) = (x,-y,2z)$, podemos calcular a divergência:<br /><br />$\nabla \cdot \overrightarrow{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial (-y)}{\partial y} + \frac{\partial (2z)}{\partial z} = 1 - 1 + 2 = 2$<br /><br />Agora, podemos calcular o fluxo do campo elétrico através da superfície do cilindro usando a fórmula:<br /><br />$\Phi = \iint_S \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n} \, dS$<br /><br />Onde $\overrightarrow{n}$ é a normal exterior à superfície $S$.<br /><br />No caso do cilindro $x^2 + y^2 = 9$, a normal exterior é dada por $\overrightarrow{n} = \frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|}$, onde $\overrightarrow{r} = (x,y,z)$ é o vetor posição.<br /><br />Substituindo os valores, temos:<br /><br />$\Phi = \iint_S (x,-y,2z) \cdot \frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|} \, dS$<br /><br />Como a superfície é um cilindro, podemos usar coordenadas cilíndricas para simplificar a integral. As coordenadas cilíndricas são dadas por $x = r\cos(\theta)$, $y = r\sin(\theta)$ e $z = z$, onde $r$ é a distância radial e $\theta$ é o ângulo azimutal.<br /><br />Substituindo as coordenadas cilíndricas na integral, temos:<br /><br />$\Phi = \int_0^{2\pi} \int_0^3 (r\cos(\theta), -r\sin(\theta), 2z) \cdot \frac{(r\cos(\theta), r\sin(\theta), z)}{r} \, r \, dz \, d\theta$<br /><br />Simplificando a integral, temos:<br /><br />$\Phi = \int_0^{2\pi} \int_0^3 (r\cos^2(\theta) + r\sin^2(\theta) + 2z^2) \, dz \, d\theta$<br /><br />$\Phi = \int_0^{2\pi} \int_0^3 (r + 2z^2) \, dz \, d\theta$<br /><br />Agora, podemos calcular a integral:<br /><br />$\Phi = \int_0^{2\pi} \left[ rz + \frac{2}{3}z^3 \right]_0^3 \, d\theta$<br /><br />$\Phi = \int_0^{2\pi} (3r + 18) \, d\theta$<br /><br />$\Phi = \int_0^{2\pi} 3r + 18 \, d\theta$<br /><br />$\Phi = 3 \int_0^{2\pi} r \, d\theta + 18 \int_0^{2\pi} d\theta$<br /><br />$\Phi = 3 \int_0^{2\pi} r \, d\theta + 18 \cdot 2\pi$<br /><br />$\Phi = 3 \cdot 0 + 36\pi$<br /><br />$\Phi = 36\pi$<br /><br />Portanto, o fluxo do campo elétrico através da superfície do cilindro é igual a $36\pi$.