((2)/(3))^x+24 cdot((4)/(9))^2+3 x>((8)/(27))^4 x+3

Para resolver essa inequação, podemos usar propriedades das potências e simplificar a expressão.<br /><br />Primeiro, vamos reescrever as frações como potências de uma mesma base comum. Podemos observar que \( \frac{2}{3} \), \( \frac{4}{9} \) e \( \frac{8}{27} \) podem ser escritos como potências de \( \frac{2}{3} \):<br /><br />\( \frac{2}{3} = \left(\frac{2}{3}\right)^1 \)<br /><br />\( \frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \)<br /><br />\( \frac{8}{27} = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \)<br /><br />Agora, substituindo essas potências na inequação, temos:<br /><br />\( \left(\frac{2}{3}\right)^{x+4} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2+3x} > \left(\frac{2}{3}\right)^{4x+3} \)<br /><br />Podemos simplificar a expressão usando a propriedade das potências que diz que, ao multiplicar potências de mesma base, somamos os expoentesleft{2}{3}\right)^{x+4+2+3x} > \left(\frac{2}{3}\right)^{4x+3} \)<br /><br />Simplificando os expoentes:<br /><br />\( \left(\frac{2}{3}\right)^{3x+6} > \left(\frac{2}{3}\right)^{4x+3} \)<br /><br />Agora, podemos usar a propriedade das potências que diz que, se a base é maior que 1, a potência cresce à medida que o expoente aumenta. Portanto, podemos comparar diretamente os expoentes:<br /><br />\( 3x+6 > 4x+3 \)<br /><br />Resolvendo essa inequação, temos:<br /><br />\( 6 - 3 > 4x - 3x \)<br /><br />\( 3 > x \)<br /><br />Portanto, a solução para a inequação é \( x < 3 \).