23. Seja a função q uadrática definida por f(x)=-x^2+6x-8 Determine: a) Os valores de f(0),f(1),f(5) e f(6) b) As raizes da função. c) O vértice da parábola. d) Construa , em seu caderno, um esboço do grance da função.

Vamos resolver cada parte da questão:<br /><br />### a) Valores de \( f(0), f(1), f(5) \) e \( f(6) \)<br /><br />Para encontrar esses valores, substituímos \( x \) pelos valores dados na função \( f(x) = -x^2 + 6x - 8 \).<br /><br />1. \( f(0) \):<br /> \[<br /> f(0) = -0^2 + 6 \cdot 0 - 8 = -8<br /> \]<br /><br />2. \( f(1) \):<br /> \[<br /> f(1) = -1^2 + 6 \cdot 1 - 8 = -1 + 6 - 8 = -3<br /> \]<br /><br />3. \( f(5) \):<br /> \[<br /> f(5) = -5^2 + 6 \cdot 5 - 8 = -25 + 30 - 8 = -3<br /> \]<br /><br />4. \( f(6) \):<br /> \[<br /> f(6) = -6^2 + 6 \cdot 6 - 8 = -36 + 36 - 8 = -8<br /> \]<br /><br />Portanto, os valores são:<br />- \( f(0) = -8 \)<br />- \( f(1) = -3 \)<br />- \( f(5) = -3 \)<br />- \( f(6) = -8 \)<br /><br />### b) Raízes da função<br /><br />Para encontrar as raízes, resolvemos a equação \( f(x) = 0 \):<br />\[<br />-x^2 + 6x - 8 = 0<br />\]<br /><br />Podemos usar a fórmula de Bhaskara:<br />\[<br />x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}<br />\]<br />onde \( a = -1 \), \( b = 6 \) e \( c = -8 \).<br /><br />Calculamos o discriminante:<br />\[<br />\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(-1)(-8) = 36 - 32 = 4<br />\]<br /><br />Como o discriminante é positivo, temos duas raízes reais distintas:<br />\[<br />x = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2(-1)} = \frac{-6 \pm 2}{-2}<br />\]<br /><br />Portanto, as raízes são:<br />\[<br />x_1 = \frac{-6 + 2}{-2} = 2<br />\]<br />\[<br />x_2 = \frac{-6 - 2}{-2} = 4<br />\]<br /><br />### c) Vértice da parábola<br /><br />O vértice da parábola \( ax^2 + bx + c \) é dado por:<br />\[<br />x = -\frac{b}{2a}<br />\]<br /><br />Substituindo os valores de \( a \) e \( b \):<br />\[<br />x = -\frac{6}{2(-1)} = 3<br />\]<br /><br />Para encontrar a coordenada \( y \) do vértice, substituímos \( x = 3 \) na função:<br />\[<br />f(3) = -3^2 + 6 \cdot 3 - 8 = -9 + 18 - 8 = 1<br />\]<br /><br />Portanto, o vértice é:<br />\[<br />(3, 1)<br />\]<br /><br />### d) Esboço do gráfico da função<br /><br />Para construir o esboço do gráfico, podemos usar os pontos calculados e a forma da parábola. Sabemos que a parábola é aberta para baixo (porque o coeficiente de \( x^2 \) é negativo) e tem vértice em \( (3, 1) \). Também sabemos que passa pelos pontos \( (0, -8) \), \( (1, -3) \), \( (5, -3) \) e \( (6, -8) \).<br /><br />O gráfico deve ser uma parábola que:<br />- Passa pelos pontos \( (0, -8) \) e \( (6, -8) \) (pontos de simetria em relação ao eixo \( x = 3 \)),<br />- Tem vértice em \( (3, 1) \),<br />- Passa pelos pontos \( (1, -3) \) e \( (5, -3) \).<br /><br />Este esboço deve ser feito em um caderno, mas aqui está uma representação textual:<br /><br />```<br />y<br />|<br />| *<br />| / \<br />| / \<br />| / \<br />| / \<br />| / \<br />| / \<br />| / \<br />