3. 0 conjunto B= f:Rarrow Rvert f(x)=f(-x) das funçoes pares, é um subespaç vetorial das funções reais?(Justifique sua resposta). 4. Verifique se o subconjunto abaixo. é subespaco vetorial do R^3

Para justificar se o conjunto \( B = \{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f(x) = f(-x) \} \) das funções pares é um subespaço vetorial das funções reais, precisamos verificar se ele satisfaz as propriedades de um subespaço vetorial.<br /><br />Primeiro, devemos verificar se o conjunto \( B \) contém o zero vetorial. O zero vetorial é a função constante \( f(x) = 0 \) para todo \( x \) em \( \mathbb{R} \). Podemos ver que \( f(-x) = 0 \) para todo \( x \) em \( \mathbb{R} \), o que significa que \( f(x) = f(-x) \). Portanto, o zero vetorial está contido em \( B \).<br /><br />Em segundo lugar, devemos verificar se \( B \) é fechado sob adição. Se \( f \) e \( g \) pertencem a \( B \), então \( f(x) = f(-x) \) e \( g(x) = g(-x) \) para todo \( x \) em \( \mathbb{R} \). Agora, vamos considerar a soma de \( f \) e \( g \), que é \( (f+g)(x) = f(x) + g(x) \). Precisamos mostrar que \( (f+g)(-x) = (f+g)(x) \). Substituindo \( -x \) na expressão, temos \( (f+g)(-x) = f(-x) + g(-x) \). Como \( f(x) = f(-x) \) e \( g(x) = g(-x) \), temos \( (f+g)(-x) = f(x) + g(x) = (f+g)(x) \). Portanto, a adição de funções em \( B \) resulta em uma função que também pertence a \( B \).<br /><br />Por fim, devemos verificar se \( B \) é fechado sob multiplicação por escalar. Se \( f \) pertence a \( B \), então \( f(x) = f(-x) \) para todo \( x \) em \( \mathbb{R} \). Agora, vamos considerar o produto de \( f \) por um escalar \( \lambda \), que é \( (\lambda f)(x) = \lambda f(x) \). Precisamos mostrar que \( (\lambda f)(-x) = (\lambda f)(x) \). Substituindo \( -x \) na expressão, temos \( (\lambda f)(-x) = \lambda f(-x) \). Como \( f(x) = f(-x) \), temos \( (\lambda f)(-x) = \lambda f(x) = (\lambda f)(x) \). Portanto, a multiplicação por escalar de funções em \( B \) resulta em uma função que também pertence a \( B \).<br /><br />Como o conjunto \( B \) contém o zero vetorial, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que \( B \) é um subespaço vetorial das funções reais.<br /><br />Para a segunda pergunta, você não forneceu o subconjunto específico de \( \mathbb{R}^3 \) que deseja verificar se é um subespaço vetorial. Por favor, forneça o subconjunto para que eu possa ajudá-lo a verificar se ele é um subespaço vetorial de \( \mathbb{R}^3 \).