. (valor 1,75)Seja ABC um triângulo retângulo em A. São dados tgB (3sqrt (3))/(2) e hipotenusa 2sqrt (2) Calcule os catetos be C.

Para calcular os catetos BC e AC do triângulo retângulo ABC, podemos usar a relação trigonométrica tangente (tg).<br /><br />Dado que tgB = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ e a hipotenusa AB = $2\sqrt{2}$, podemos usar a fórmula da tangente para encontrar o cateto BC:<br /><br />tgB = $\frac{BC}{AC}$<br /><br />Substituindo os valores conhecidos, temos:<br /><br />$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{BC}{AC}$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por AC, temos:<br /><br />$BC = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot AC$<br /><br />Agora, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de AC:<br /><br />$AB^2 = AC^2 + BC^2$<br /><br />Substituindo os valores conhecidos, temos:<br /><br />$(2\sqrt{2})^2 = AC^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot AC\right)^2$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$8 = AC^2 + \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot AC^2$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 4, temos:<br /><br />$32 = 4AC^2 + 9\sqrt{3} \cdot AC^2$<br /><br />Agora, podemos resolver essa equação quadrática para encontrar o valor de AC:<br /><br />$4AC^2 + 9\sqrt{3} \cdot AC^2 - 32 = 0$<br /><br />Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação, temos:<br /><br />$AC = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$<br /><br />Substituindo os valores, temos:<br /><br />$AC = \frac{-9\sqrt{3} \pm \sqrt{(9\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-32)}}{2 \cdot 4}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$AC = \frac{-9\sqrt{3} \pm \sqrt{243 + 512}}{8}$<br /><br />$AC = \frac{-9\sqrt{3} \pm \sqrt{755}}{8}$<br /><br />Como o valor de AC não pode ser negativo, podemos descartar a solução negativa:<br /><br />$AC = \frac{-9\sqrt{3} + \sqrt{755}}{8}$<br /><br />Agora, podemos usar esse valor para calcular o valor de BC:<br /><br />$BC = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot AC$<br /><br />Substituindo o valor de AC, temos:<br /><br />$BC = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{-9\sqrt{3} + \sqrt{755}}{8}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$BC = \frac{-27 + \frac{3\sqrt{755}}{2}}{8}$<br /><br />Portanto, os valores dos catetos BC e AC são:<br /><br />BC = $\frac{-27 + \frac{3\sqrt{755}}{2}}{8}$<br /><br />AC = $\frac{-9\sqrt{3} + \sqrt{755}}{8}$