5. Prove que a transformação linear T:R^2arrow R^3 dada por T(x,y)=(x+2y,x+y,x-y) é injetiva.

Para provar que a transformação linear \( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) dada por \( T(x, y) = (x + 2y, x + y, x - y) \) é injetiva, precisamos mostrar que \( T \) é uma função injetora, ou seja, que \( T \) é uma função que mapeia diferentes elementos de \( \mathbb{R}^2 \) para diferentes elementos de \( \mathbb{R}^3 \).<br /><br />Para isso, vamos considerar dois vetores \( (x_1, y_1) \) e \( (x_2, y_2) \) em \( \mathbb{R}^2 \) tais que \( T(x_1, y_1) = T(x_2, y_2) \). Então, temos:<br /><br />\( (x_1 + 2y_1, x_1 + y_1, x_1 - y_1) = (x_2 + 2y_2, x_2 + y_2, x_2 - y_2) \)<br /><br />Comparando as coordenadas correspondentes, temos:<br /><br />\( x_1 + 2y_1 = x_2 + 2y_2 \) (1)<br />\( x_1 + y_1 = x_2 + y_2 \) (2)<br />\( x_1 - y_1 = x_2 - y_2 \) (3)<br /><br />A partir da equação (3), podemos concluir que \( x_1 = x_2 \) e \( y_1 = y_2 \). Portanto, \( (x_1, y_1) = (x_2, y_2) \).<br /><br />Portanto, a transformação \( T \) é injetora, pois para cada vetor \( (x, y) \) em \( \mathbb{R}^2 \), existe um vetor único \( (x + 2y, x + y, x - y) \) em \( \mathbb{R}^3 \) tal que \( T(x, y) = (x + 2y, x + y, x - y) \).