Questão 09 Podemos afirmar que o limite lim _(xarrow -infty )(x^2-2x+3)/(3x^2)+x+1 é igual:

Para determinar o limite \(\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 2x + 3}{3x^2 + x + 1}\), podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador pelo maior termo presente em ambos, que é \(x^2\).<br /><br />Vamos fazer essa divisão:<br /><br />\[<br />\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 2x + 3}{3x^2 + x + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x^2 - 2x + 3}{x^2}}{\frac{3x^2 + x + 1}{x^2}}<br />\]<br /><br />Simplificando cada termo:<br /><br />\[<br />= \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}<br />\]<br /><br />Quando \(x\) tende a \(-\infty\), os termos \(\frac{2}{x}\), \(\frac{3}{x^2}\), \(\frac{1}{x}\) e \(\frac{1}{x^2}\) tendem a 0. Portanto, a expressão se simplifica para:<br /><br />\[<br />= \frac{1 - 0 + 0}{3 + 0 + 0} = \frac{1}{3}<br />\]<br /><br />Portanto, o limite é:<br /><br />\[<br />\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 2x + 3}{3x^2 + x + 1} = \frac{1}{3}<br />\]