3) 2 Pontos Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função: f(x)=(e^x)/(1+x^2) .no ponto P(1,e/2) Este pontoé um ponto de máximo local ou de mínimo local ou de nenhum dos dois?

Para calcular a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto \( P(1, \frac{e}{2}) \), precisamos encontrar a derivada da função e avaliar seu valor no ponto dado.<br /><br />A função é \( f(x) = \frac{e^x}{1 + x^2} \). Para encontrar a derivada, podemos usar a regra do quociente:<br /><br />\[ f'(x) = \frac{(e^x)'(1 + x^2) - (e^x)(1 + x^2)'}{(1 + x^2)^2} \]<br /><br />Calculando as derivadas:<br /><br />\[ (e^x)' = e^x \]<br />\[ (1 + x^2)' = 2x \]<br /><br />Substituindo na fórmula da derivada:<br /><br />\[ f'(x) = \frac{e^x(1 + x^2) - e^x(2x)}{(1 + x^2)^2} \]<br />\[ f'(x) = \frac{e^x(1 + x^2 - 2x)}{(1 + x^2)^2} \]<br />\[ f'(x) = \frac{e^x(1 - 2x + x^2)}{(1 + x^2)^2} \]<br /><br />Agora, avaliamos a derivada no ponto \( x = 1 \):<br /><br />\[ f'(1) = \frac{e(1 - 2 \cdot 1 + 1^2)}{(1 + 1^2)^2} \]<br />\[ f'(1) = \frac{e(1 - 2 + 1)}{(1 + 1)^2} \]<br />\[ f'(1) = \frac{e \cdot 0}{2^2} \]<br />\[ f'(1) = 0 \]<br /><br />Como a derivada é zero, precisamos verificar se o ponto \( P(1, \frac{e}{2}) \) é um ponto de máximo local, mínimo local ou de inflexão. Para isso, podemos calcular a segunda derivada \( f''(x) \) e avaliar seu valor no ponto \( x = 1 \).<br /><br />Calculando a segunda derivada:<br /><br />\[ f''(x) = \left( \frac{e^x(1 - 2x + x^2)}{(1 + x^2)^2} \right)' \]<br /><br />Para simplificar, podemos usar a regra do quociente novamente:<br /><br />\[ f''(x) = \frac{(e^x(1 - 2x + x^2))' (1 + x^2)^2 - e^x(1 - 2x + x^2)(2(1 + x^2))}{(1 + x^2)^4} \]<br /><br />Calculando as derivadas:<br /><br />\[ (e^x(1 - 2x + x^^x(1 - 2x + x^2)' = e^x(-2 + 2x) \]<br />\[ (2(1 + x^2)) = 2 + 2x^2 \]<br /><br />Substituindo na fórmula da segunda derivada:<br /><br />\[ f''(x) = \frac{e^x(-2 + 2x)(1 + x^2)^2 - e^x(1 - 2x + x^2)(2 + 2x^2)}{(1 + x^2)^4} \]<br /><br />Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto \( x = 1 \):<br /><br />\[ f''(1) = \frac{e(-2 + 2 \cdot 1)(1 + 1)^2 - e(1 - 2 \cdot 1 + 1^2)(2 + 2 \cdot 1^2)}{(1 + 1)^4} \]<br />\[ f''(1) = \frac{e(-2 + 2)(2)^2 - e(1 - 2 + 1)(2 + 2)}{(2)^4} \]<br />\[ f''(1) = \frac{e \cdot 0 \cdot 4 - e \cdot 0 \cdot 4}{16} \]<br />\[ f''(1) = 0 \]<br /><br />Como a segunda derivada é zero, precisamos verificar se o ponto \( P(1, \frac{e}{2}) \) é um ponto de máximo local, mínimo local ou de inflexão. Para isso, podemos usar o teste da primeira derivada:<br /><br />\[ f'(x) = \frac{e^x(1 - 2x + x^2)}{(1 + x^2)^2} \]<br /><br />Para \( x = 1 \):<br /><br />\[ f'(1)