Questão 10 Considere o conjunto M_(2)(Z) composto pelas matrizes quadradas de ordem 2 com entradas inteiras, pertencentes ao conjunto dos números inteiros A partir deste conjunto, podem ser definidas as operaçōes de adição de matrizes (+) e multiplicação entre matrizes (^ast ) Com base nas características da estrutura dada por (M_(2)(Z).+.^ast ) analise as afirmaçōes apresentadas no que segue e a relação proposta entre elas: 1. A estrutura (M_(2)(Z),+.ast ^ast ) pode ser classificada como um anel comutativo com unidade PORQUE II. Devido às suas propriedades, o par (M_(2)(Z),+) pode ser caracterizado como grupo abeliano A respeito das informações apresentadas assinale a alternativa correta:

Para analisar as afirmações apresentadas, vamos considerar as definições e propriedades dos anéis e grupos abelianos.<br /><br />1. Um anel é uma estrutura algébrica composta por um conjunto de elementos, duas operações (adição e multiplicação) e certas propriedades que devem ser satisfeitas. Um anel é chamado de anel comutativo se a multiplicação é comutativa, ou seja, se para todos os elementos a e b no anel, temos ab = ba.<br /><br />Um anel possui uma unidade se existe um elemento neutro para a operação de multiplicação, ou seja, existe um elemento e tal que para todo elemento a no anel, temos ae = ea = a.<br /><br />2. Um grupo é uma estrutura algébrica composta por um conjunto de elementos, uma operação de adição e certas propriedades que devem ser satisfeitas. Um grupo é chamado de grupo abeliano se a adição é comutativa, ou seja, se para todos os elementos a e b no grupo, temos a + b = b + a.<br /><br />Agora, vamos analisar as afirmações apresentadas:<br /><br />I. A estrutura $(M_{2}(Z),+.\ast ^{\ast })$ pode ser classificada como um anel comutativo com unidade.<br /><br />Para verificar se a estrutura $(M_{2}(Z),+.\ast ^{\ast })$ é um anel comutativo, devemos verificar se a multiplicação é comutativa e se existe uma unidade para a operação de multiplicação.<br /><br />A multiplicação de matrizes é comutativa, ou seja, para todas as matrizes A e B em $M_{2}(Z)$, temos AB = BA.<br /><br />Além disso, a matriz identidade é uma unidade para a operação de multiplicação de matrizes. A matriz identidade é a matriz diagonal que possui 1 na diagonal principal e 0 em todos os outros elementos.<br /><br />Portanto, a estrutura $(M_{2}(Z),+.\ast ^{\ast })$ é um anel comutativo com unidade.<br /><br />II. Devido às suas propriedades, o par $(M_{2}(Z),+)$ pode ser caracterizado como grupo abeliano.<br /><br />Para verificar se o par $(M_{2}(Z),+)$ pode ser caracterizado como grupo abeliano, devemos verificar se a adição é comutativa.<br /><br />A adição de matrizes é comutativa, ou seja, para todas as matrizes A e B em $M_{2}(Z)$, temos A + B = B + A.<br /><br />Portanto, o par $(M_{2}(Z),+)$ pode ser caracterizado como grupo abeliano.<br /><br />Com base nas análises apresentadas, a alternativa correta é:<br /><br />Ambas as afirmações I e II estão corretas.