2. (1,0 pt). O angulo Theta entre as retas reséde 30^circ determine o valor de m dadas as equaçōes das retas: 7. ) y=x+5 z=mx-2 (x-2)/(4)=(y+4)/(5)=(z)/(3)

Para determinar o valor de m, podemos usar a definição de ângulo entre duas retas. O ângulo θ entre duas retas é dado pela fórmula:<br /><br />$\tan(\theta) = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{\|\vec{d_1}\| \cdot \|\vec{d_2}\|}$<br /><br />onde $\vec{d_1}$ e $\vec{d_2}$ são os vetores direção das retas e $\|\vec{d_1}\|$ e $\|\vec{d_2}\|$ são suas respectivas normas.<br /><br />No caso das retas dadas, temos:<br /><br />$\vec{d_1} = (1, 1)$ e $\vec{d_2} = (m, 1)$<br /><br />Podemos calcular a norma desses vetores:<br /><br />$\|\vec{d_1}\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$<br /><br />$\|\vec{d_2}\| = \sqrt{m^2 + 1^2} = \sqrt{m^2 + 1}$<br /><br />Agora, podemos calcular o produto interno entre os vetores:<br /><br />$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 1 \cdot m + 1 \cdot 1 = m + 1$<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula do ângulo, temos:<br /><br />$\tan(\theta) = \frac{m + 1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{m^2 + 1}}$<br /><br />Sabemos que $\theta = 30^{\circ}$, então $\tan(\theta) = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$<br /><br />Igualando as duas expressões para $\tan(\theta)$, temos:<br /><br />$\frac{m + 1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{m^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$<br /><br />Para resolver essa equação, podemos multiplicar ambos os lados por $\sqrt{2} \cdot \sqrt{m^2 + 1}$:<br /><br />$m + 1 = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{m^2 + 1}}{\sqrt{3}}$<br /><br />Agora, podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:<br /><br />$(m + 1)^2 = \frac{2(m^2 + 1)}{3}$<br /><br />Expandindo e simplificando, temos:<br /><br />$m^2 + 2m + 1 = \frac{2m^2 + 2}{3}$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:<br /><br />$3(m^2 + 2m + 1) = 2m^2 + 2$<br /><br />$3m^2 + 6m + 3 = 2m^2 + 2$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$m^2 + 6m + 1 = 0$<br /><br />Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />$m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$<br /><br />Onde a = 1, b = 6 e c = 1:<br /><br />$m = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$<br /><br />$m = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2}$<br /><br />$m = \frac{-6 \pm \sqrt{32}}{2}$<br /><br />$m = \frac{-6 \pm 4\sqrt{2}}{2}$<br /><br />$m = -3 \pm 2\sqrt{2}$<br /><br />Portanto, as soluções para m são $m = -3 + 2\sqrt{2}$ e $m = -3 - 2\sqrt{2}$.