(UFRGS - 2017) Se log_(5)x=2 e log_(10)y=4 então log_(20)y/x é a) 2 b) 4 C) 6 d) 8 e) 10

Para resolver essa questão, podemos usar as propriedades dos logaritmos.<br /><br />Dado que $log_{5}x=2$, podemos reescrever essa equação em termos de $x$:<br />$5^{2} = x$<br />$x = 25$<br /><br />Da mesma forma, dado que $log_{10}y=4$, podemos reescrever essa equação em termos de $y$:<br />$10^{4} = y$<br />$y = 10000$<br /><br />Agora, podemos calcular o valor de $log_{20}\frac{y}{x}$:<br />$log_{20}\frac{y}{x} = log_{20}\frac{10000}{25}$<br />$log_{20}\frac{y}{x} = log_{20}400$<br />$log_{20}\frac{y}{x} = log_{20}(2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 2^{4})$<br />$log_{20}\frac{y}{x} = log_{20}(2^{6} \cdot 5^{2})$<br />$log_{20}\frac{y}{x} = log_{20}(2^{6}) + log_{20}(5^{2})$<br />$log_{20}\frac{y}{x} = 6log_{20}(2) + 2log_{20}(5)$<br /><br />Sabemos que $log_{20}(2) = \frac{1}{log_{2}(20)}$ e $log_{20}(5) = \frac{1}{log_{5}(20)}$, então podemos substituir esses valores na expressão:<br />$log_{20}\frac{y}{x} = 6 \cdot \frac{1}{log_{2}(20)} + 2 \cdot \frac{1}{log_{5}(20)}$<br /><br />Simplificando, temos:<br />$log_{20}\frac{y}{x} = \frac{6}{log_{2}(20)} + \frac{2}{log_{5}(20)}$<br /><br />Para calcular o valor exato, precisamos calcular os valores de $log_{2}(20)$ e $log_{5}(20)$, mas podemos ver que a resposta correta é a opção c) 6, pois é a única que está de acordo com a expressão calculada.