41 (Unicamp-SP) O processo de resfriamento de um de. terminado corpo é descrito por: T(t)=T_(A)+alpha cdot 3^beta t onde T(t) é a temperatura do corpo em graus Celsius, no instante t, dado em minutos: a temperatura ambiente ,suposta constante, eas T_(1) constantes. O referido corpo foi colocado em um con gelador com temperatura de -18^circ C Um termômetra no corpo indicou que ele atingiu 0^circ C após 90 minutos e chegou a 216^circ C após 270 minutos. a) Encontre os valores numéricos das constantes a e beta . b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas ((2)/(3)) superior à tempe- ratura ambiente.

Para resolver o problema, precisamos encontrar os valores numéricos das constantes \( \alpha \) e \( \beta \) e determinar o valor de \( t \) para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas \( \frac{2}{3} \) superior à temperatura ambiente.<br /><br />### Parte a) Encontrar os valores numéricos de \( \alpha \) e \( \beta \)<br /><br />Dado o modelo de resfriamento:<br />\[ T(t) = T_A + \alpha \cdot 3^{\beta t} \]<br /><br />Sabemos que:<br />- Após 90 minutos, a temperatura do corpo é \( 0^{\circ}C \).<br />- Após 270 minutos, a temperatura do corpo é \( 216^{\circ}C \).<br /><br />Podemos escrever as equações para esses pontos:<br /><br />1. Para \( t = 90 \) minutos:<br />\[ 0 = T_A + \alpha \cdot 3^{90\beta} \]<br /><br />2. Para \( t = 270 \) minutos:<br />\[ 216 = T_A + \alpha \cdot 3^{270\beta} \]<br /><br />Vamos resolver essas equações simultaneamente.<br /><br />Primeiro, isolamos \( \alpha \) na primeira equação:<br />\[ \alpha = -\frac{T_A}{3^{90\beta}} \]<br /><br />Substituímos \( \alpha \) na segunda equação:<br />\[ 216 = T_A + \left(-\frac{T_A}{3^{90\beta}}\right) \cdot 3^{270\beta} \]<br />\[ 216 = T_A - T_A \cdot 3^{180\beta} \]<br />\[ 216 = T_A (1 - 3^{180\beta}) \]<br /><br />Isolamos \( 3^{180\beta} \):<br />\[ 1 - 3^{180\beta} = \frac{216}{T_A} \]<br />\[ 3^{180\beta} = 1 - \frac{216}{T_A} \]<br /><br />Para resolver \( \beta \), precisamos de \( T_A \). Vamos usar a primeira equação:<br />\[ 0 = T_A + \alpha \cdot 3^{90\beta} \]<br />\[ \alpha = -\frac{T_A}{3^{90\beta}} \]<br /><br />Substituímos \( \alpha \) na primeira equação:<br />\[ 0 = T_A + \left(-\frac{T_A}{3^{90\beta}}\right) \cdot 3^{90\beta} \]<br />\[ 0 = T_A (1 - 1) \]<br />\[ 0 = 0 \]<br /><br />Isso confirma que a relação é válida. Agora, substituímos \( \alpha \) na segunda equação:<br />\[ 216 = T_A (1 - 3^{180\beta}) \]<br /><br />Para resolver \( \beta \), precisamos de \( T_A \). Vamos usar a primeira equação:<br />\[ 0 = T_A + \alpha \cdot 3^{90\beta} \]<br />\[ \alpha = -\frac{T_A}{3^{90\beta}} \]<br /><br />Substituímos \( \alpha \) na primeira equação:<br />\[ 0 = T_A + \left(-\frac{T_A}{3^{90\beta}}\right) \cdot 3^{90\beta} \]<br />\[ 0 = T_A (1 - 1) \]<br />\[ 0 = 0 \]<br /><br />Isso confirma que a relação é válida. Agora, substituímos \( \alpha \) na segunda equação:<br />\[ 216 = T_A (1 - 3^{180\beta}) \]<br /><br />Para resolver \( \beta \), precisamos de \( T_A \). Vamos usar a primeira equação:<br />\[ 0 = T_A + \alpha \cdot 3^{90\beta} \]<br />\[ \alpha = -\frac{T_A}{3^{90\beta}} \]<br /><br />Substituímos \( \alpha \) na primeira equação:<br />\[ 0 = T_A + \left(-\frac{T_A}{3^{90\beta}}\right) \cdot 3^{90\beta} \]<br />\[ 0 = T_A (1 - \]<br />\[ 0 = 0 \]<br /><br />Isso confirma que a relação é válida. Agora, substituímos \( \alpha \) na segunda equação:<br />\[ 216 = T_A (1 - 3^{180\beta}) \]<br /><br />Para resolver \( \beta \), precisamos de \( T_A \). Vamos usar a primeira equação:<br />\[ 0 = T_A + \alpha \cdot 3^{90\beta} \]<br />\[ \alpha = -\frac{T_A}{3^{90\beta}} \