Quando descjamos estudar se um homomorfismo injetor, podemos empregar o estudo do nucleo dessa aplicaçdo, utilizando os resultados correspondentes. Diante desse tema, considere os sequintes homomorfismos f:Zarrow Z xlongmapsto f(x)=x g:Ztimes Zarrow Ztimes Z (x,y)longmapsto g(x,y)=(0,x) A partir dessas aplicaçóes analise as seguintes afirmaçoes: 1. Onucleo do homomorfismo fé composto apenas pelo numero inteiro zero II. Onucleo do homomorfismo fé composto por todos os numeros inteiros III. O nucleo do homomorfismo é composto apenas pelo vetor nulo (0,0) Está correto o que se afirma apenas em

Para analisar as afirmações sobre os núcleos dos homomorfismos dados, vamos primeiro entender o conceito de núcleo de uma função. O núcleo de uma função \( f: A \rightarrow B \) é o conjunto de todos os elementos de \( A \) que são mapeados para o elemento neutro de \( B \). Em outras palavras, é o conjunto de todos os elementos de \( A \) que são fixados por \( f \).<br /><br />Vamos analisar cada homomorfismo:<br /><br />1. \( f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \), \( x \longmapsto f(x) = x \)<br /><br /> - Neste caso, o núcleo de \( f \) é o conjunto de todos os inteiros que são fixados por \( f \). Como \( f(x) = x \) para todo \( x \in \mathbb{Z} \), o núcleo de \( f \) é todo o conjunto dos inteiros \( \mathbb{Z} \).<br /><br />2. \( g: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \), \( (x, y) \longmapsto g(x, y) = (0, x) \)<br /><br /> - Para este homomorfismo, o núcleo é o conjunto de todos os pares ordenados \( (x, y) \) que são fixados por \( g \). Como \( g(x, y) = (0, x) \), isso significa que \( y \) deve ser igual a 0 para que \( g \) fixe o par \( (x, y) \). Portanto, o núcleo de \( g \) é o conjunto de todos os pares ordenados \( (x, 0) \) para \( x \in \mathbb{Z} \).<br /><br />Agora, analisando as afirmações:<br /><br />1. O núcleo do homomorfismo \( f \) é composto apenas pelo número inteiro zero.<br /><br /> - Incorreto. O núcleo de \( f \) é todo o conjunto dos inteiros \( \mathbb{Z} \).<br /><br />2. O núcleo do homomorfismo \( f \) é composto por todos os números inteiros.<br /><br /> - Correto. Como explicado, o núcleo de \( f \) é todo o conjunto dos inteiros \( \mathbb{Z} \).<br /><br />3. O núcleo do homomorfismo \( g \) é composto apenas pelo vetor nulo \( (0, 0) \).<br /><br /> - Incorreto. O núcleo de \( g \) é o conjunto de todos os pares ordenados \( (x, 0) \) para \( x \in \mathbb{Z} \), que não é apenas o vetor nulo \( (0, 0) \).<br /><br />Portanto, a afirmação correta é a II: "O núcleo do homomorfismo \( f \) é composto por todos os números inteiros".